Körper F2 und F4 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] \IF_{2} [/mm] (bzw. [mm] \IF_{4}) [/mm] den Körper mit zwei (bzw. vier) Elementen. Gibt es:
a) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{2} [/mm] mit genau einer Lösung?
b) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{2} [/mm] mit genau zwei Lösungen?
c) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{2} [/mm] mit genau vier Lösungen?
d) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{4} [/mm] mit genau vier Lösungen?
e) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{4} [/mm] mit genau zwei Lösungen?
f) ein lineares Gleichungssystem über [mm] \IF_{4} [/mm] mit genau einer Lösung? |
Hallo,
also bei dieser Multiple Choice Aufgabe hab ich a) und f) angekreuzt. Ist das richtig? Wie immer dank vorweg :)
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
Das Lösungsgebilde eines LGS ist ein (affiner) Unterraum, im homogenen Fall einfach ein Unterraum. Jetzt überleg dir mal, wie viele Elemente endl.-dim. Vektorräume über endlichen Körpern haben. (Antwort: [mm] q^n)
[/mm]
Damit ist klar, daß e) nicht geht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
aber e) hab ich doch auch gar nicht angekreuzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
a) und f) sind richtig, also mit 'ja' zu beantworten, aber b), c) und d) auch.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
gut dann hab ich das ganze wohl noch nicht so richtig verstanden. dachte immer es gibt GLS mit entweder:
- keiner Lösung
- einer Lösung
- unendlich vielen Lösungen
von daher verstehe ich noch nich so ganz wie jetzt 2 und 4 dann doch richtig sein kann? kannst du das evtl. noch näher erläutern?
gruß fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi1
> gut dann hab ich das ganze wohl noch nicht so richtig
> verstanden. dachte immer es gibt GLS mit entweder:
> - keiner Lösung
> - einer Lösung
> - unendlich vielen Lösungen
> von daher verstehe ich noch nich so ganz wie jetzt 2 und 4
> dann doch richtig sein kann? kannst du das evtl. noch
> näher erläutern?
Da habe ich mich ja wieder auf was eingelassen ...
Weißt du, was F2 ist? Der Körper mit 2 Elementen, als da sind 0 und 1.
Das supereinfache GLS x = x hat dann die beiden Lösungen x = 0 und x = 1. Habe ich 2 Unbekannte, also das GLS x = x und y = y, dann habe ich 4 Lösungen: x = 0, y = 0; x = 0, y = 1; x = 1, y = 0; x = 1, y = 1.
Wenn dir endliche Körper nicht vertraut sind, dann lern lieber erstmal das. Sonst verhedderst du dich.
Gruß
Dieter
> gruß fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
gut das hab ich soweit alles verstanden, betrachtet man jetzt also ein GLS mit nur einer Lösung, so ist x=1 und y=0 zb eine oder x=0 und y=1 eine andere??? ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
> gut das hab ich soweit alles verstanden, betrachtet man
> jetzt also ein GLS mit nur einer Lösung, so ist x=1 und
> y=0 zb eine oder x=0 und y=1 eine andere??? ist das soweit
> richtig?
Es wäre vllt besser, die Lösung als Vektor zu schreiben, also [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] (x_1, x_2) [/mm] = (1, 0) oder so. Aber oben betrachtest du ein GLS mit jetzt schon mindestens 2 Lösungen, die eine (1, 0) und die andere (0, 1).
Ein passendes GLS wäre z. B. [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
gut dann wäre also [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] oder [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=0. [/mm] Sind das denn jetzt nich auch zwei lösungen?
betrachtet man einmal die formel [mm] q^n [/mm] die oben angeführt wurde, so bedeutet das doch, dass n die dim des VR´s ist und q die Anzahl der Elemente des Körpers. da n [mm] \ge [/mm] 1 muss also im [mm] \IF_{2} [/mm] die Anzahl mindestens zwei sein. daraus folgt ja dann, dass im [mm] \IF_{2} [/mm] zwei und vier Lösungen richtig wären und im [mm] \IF_{4} [/mm] nur die vier Lösungen. Wie kann also im [mm] \IF_{2} [/mm] auch eine und im [mm] \IF_{4} [/mm] eine aber nicht zwei Lösungen existieren, das verstehe ich irgendwie noch nicht so ganz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> gut dann wäre also [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=1[/mm] oder [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=0.[/mm]
> Sind das denn jetzt nich auch zwei lösungen?
Ja, das sind 2 Lösungen, über F2 geht das auch. Über F4 würde das nicht funktionieren.
> betrachtet man einmal die formel [mm]q^n[/mm] die oben angeführt
> wurde, so bedeutet das doch, dass n die dim des VR´s ist
> und q die Anzahl der Elemente des Körpers. da n [mm]\ge[/mm] 1 muss
n kann auch = 0 sein! Der Nullraum hat Dimension 0 und enthält genau ein Element.
> also im [mm]\IF_{2}[/mm] die Anzahl mindestens zwei sein. daraus
> folgt ja dann, dass im [mm]\IF_{2}[/mm] zwei und vier Lösungen
> richtig wären und im [mm]\IF_{4}[/mm] nur die vier Lösungen. Wie
> kann also im [mm]\IF_{2}[/mm] auch eine und im [mm]\IF_{4}[/mm] eine aber
> nicht zwei Lösungen existieren, das verstehe ich irgendwie
> noch nicht so ganz...
Das LGS x = 0 über F2 in einer Unbekannten hat genau eine Lösung: x = 0.
Alles ganz einfach, aber vllt ein bißchen ungewohnt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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