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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 23.10.2008 | | Autor: | Beltrami |
| Aufgabe | Sei K ein Körper kann man
a*0=0 f.a. a [mm] \in [/mm] K
ohne Verwendung des Distributiviätsaxiom beweisen |
Mein Problem ist jetzt nicht speziell diese ufgabe meine Frage ist allgemeiner.
Ich hab grad ein Aufgabenblatt gesehen wo man die Distributivität aus den Körperaxiomen beweisen muss. In allem was ich bisher gefunden habe in der Literatur und an was ich mich erinner is die D. aber ein Axiom.
Also ist D wirklich redundant oder gibt es ein Axiom was noch verwendet wird anstatt der D.
Danke für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
das Distributivgesetz ist auf jeden Fall ein Axiom, das sich nicht aus den anderen ergibt,schließlich regelt es, wie bei der Verknüpfung von den Opertationen "*" und "+" verfahren werden soll.
Die anderen Gesetze beziehen sich immer nur auf eine Operation.
In Bezug auf die Aufgabe kann man vielleicht die Nullteilerfreiheit in Körpern für den Beweis heranziehen. Es gilt nämlich:
Für alle [mm] a,b\in [/mm] K gilt: a*b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0 oder b=0
Daraus folgt direkt: 0*a=0=a*0. Allerdings wird bei dem Beweis glaub ich auch die Distributivgesetze angewendet....
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Fr 24.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> das Distributivgesetz ist auf jeden Fall ein Axiom, das
> sich nicht aus den anderen ergibt,
Nun, das haengt nicht zuletzt von den anderen Axiomen ab. Es gibt nicht die Koerperaxiome. Normalerweise ist es aber schon so, dass das Distributivgesetz das einzige Axiom ist, welches beide Operationen umfasst.
> schließlich regelt es,
> wie bei der Verknüpfung von den Opertationen "*" und "+"
> verfahren werden soll.
> Die anderen Gesetze beziehen sich immer nur auf eine
> Operation.
Genau.
Und es ist leicht ein Gegenbeispiel zu konstruieren, wo man zwei Verknuepfungen auf einer Menge hat die alle Koerperaxiome (die man meistens so hat) erfuellen und welche das Distributivgesetz explizit verletzen.
Es reicht ja schon aus, bei einer endlichen additiven Gruppe die multiplikative Gruppe so zu waehlen, dass sie nicht zyklisch ist. (Wenn das Ergebnis ein Koerper waer, muesste sie es naemlich sein.) Dies ist bereits fuer eine fuenfelementige Menge moeglich.
> In Bezug auf die Aufgabe kann man vielleicht die
> Nullteilerfreiheit in Körpern für den Beweis heranziehen.
>
> Es gilt nämlich:
> Für alle [mm]a,b\in[/mm] K gilt: a*b=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 oder b=0
>
> Daraus folgt direkt: 0*a=0=a*0.
Wieso das? Das ist doch eher die andere Richtung.
> Allerdings wird bei dem
> Beweis glaub ich auch die Distributivgesetze
> angewendet....
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hast Du das Aufgabenblatt bzw. die zugrundeliegenden Axiome mal zur Hand bzw. kannst die angeben oder das Blatt verlinken?
Wenn die Distributivität nicht als Axiom vorkam, gab' es dafür sicher (ein oder mehrere) andere(s) Axiom(e).
Was sicher öfter gemacht wird, ist, dass man im Körper nur die Linksdistributivität als Axiom festlegt und dann in einer Aufgabe zeigen soll, dass der Körper auch rechtsdistributiv ist. (Falls die Begriffe unklar sind, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.)
(Bzw. meinetwegen auch mit vertauschten Rollen von Links- und Rechtsdistributivität.)
Das macht man dann, indem man $(a+b)*c=c*(a+b)$ schreibt (Kommutativität der Multiplikation) und dann die Linksdistributivität ausnutzt und danach dann die Kommutativität der Multiplikation anwendet.
Was ich gerade z.B. auch sehe, dass in dem Buch "Höhere Mathematik für Ingenieure und Physiker" von Klaus Habetha bei den Körperaxiomen gar nicht die Existenz eines Inversen [mm] $a^{-1}$ [/mm] für $a [mm] \not=0_K$ [/mm] gefordert wird, sondern als Axiom steht dafür dann da, dass die Gleichung $a*x=b$ (für $a [mm] \not=0_K$) [/mm] stets genau eine Lösung $x$, als Element des Körpers, haben soll (für jedes $b$ aus dem Körper).
Daraus läßt sich natürlich insbesondere die Existenz eines inversen Elements [mm] $a^{-1}$ [/mm] für $a [mm] \not=0_K$ [/mm] folgern. Aber die Körperaxiome selbst "erscheinen auf den ersten Blick" ein wenig anders als gewohnt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Do 30.10.2008 | | Autor: | Beltrami |
Hat sich alles geklaert. Das Problem war wie mein Vorredner vermutet hat. Ich hatte die Voresung nicht da so dass ich nicht sehen konnte, dass dort nur die Linksdistributivitaet als axiom gefordert wurde. Aber danke an euch alle fuer die Antworten.
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