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Körper: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Mo 22.11.2010
Autor: Melanie-Buwe

Aufgabe
Sei (K;+;*;<) ein angeordneter Körper. Man beweise oder widerlege:


Für  alle a, b [mm]\in[/mm]K gilt: |a| < |b| <=> [mm]a^2[/mm] < [mm]b^2[/mm]

Kann mir einer helfen??
da komm ich einfach nicht weiter...

Dankeschön!
Melanie


habe diese Frage auf keiner anderen (Internet)Seite gestellt!


        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mo 22.11.2010
Autor: felixf

Moin Melanie!

> Sei (K;+;*;<) ein angeordneter Körper. Man beweise oder
> widerlege:
>  
> Für  alle a, b [mm]\in[/mm]K gilt: |a| < |b| <=> [mm]a^2[/mm] < [mm]b^2[/mm]
>  
> Kann mir einer helfen??
>  da komm ich einfach nicht weiter...

Setze $c := |a|$, $d := |d|$.

Zeige zuerst [mm] $c^2 [/mm] = [mm] a^2$ [/mm] und [mm] $b^2 [/mm] = [mm] d^2$. [/mm]

Dann kannst du ohne Beschraenkung der Allgemeinheit annehmen, dass $a, b [mm] \ge [/mm] 0$ sind.

Wenn du soweit bist, versuche die Behauptung zu zeigen. Du hast zwei Implikationen. Zeige beide getrennt.

Und schreib doch auf wieweit du jeweils kommst, wenn du weitere Fragen hast, damit wir sehen koennen wo du feststeckst.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:13 Di 23.11.2010
Autor: Melanie-Buwe

Mahlzeit Felix! ^^

Setze c := |a|, d := |d|
zu zeigen:
I. [mm]c^2 = a^2 [/mm]
da fängts bei mir schon an...wie soll ich das denn zeigen

ich versuchs:

c := |a| mit  |a|und |-a|
c² = [mm]|a|^2 [/mm] = [mm]|-a|^2 [/mm]
=> c² = [mm]a^2 [/mm]

so vielleicht? [nixweiss]

Liebe Grüße nach Kanada!! =)





Bezug
                        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:26 Di 23.11.2010
Autor: felixf

Moin Melanie!

> Setze c := |a|, d := |d|
>  zu zeigen:
>  I. [mm]c^2 = a^2 [/mm]
>   da fängts bei mir schon an...wie soll ich
> das denn zeigen
>  
> ich versuchs:
>  
> c := |a| mit  |a|und |-a|
>  c² = [mm]|a|^2[/mm] = [mm]|-a|^2[/mm]
>  => c² = [mm]a^2[/mm]

>  
> so vielleicht? [nixweiss]

So ist das nicht gut aufgeschrieben.

Mach doch einfach eine Fallunterscheidung:

1. Fall: $x [mm] \le [/mm] 0$. Dann ist $|x| = -x$ und somit [mm] $|x|^2 [/mm] = [mm] (-x)^2 [/mm] = [mm] x^2$. [/mm]

2. Fall: $x [mm] \ge [/mm] 0$. Dann ist ...

Liebe Gruesse nach Deutschland,
Felix


Bezug
                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Di 23.11.2010
Autor: Melanie-Buwe

Guten Abend Felix
Guten Morgen an den Rest,

ich versuchs mal:

setze c:= |a|  und d:=|b|

I. [mm]c^2[/mm] = [mm]a^2[/mm]

1. Fall: a [mm]\leq[/mm] 0
=> |a| = -a  und somit [mm]|a|^2[/mm] = [mm](-a)^2[/mm] =



Bezug
                        
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Di 23.11.2010
Autor: Melanie-Buwe

falscher Button. sorry

...[mm] |a|^2 = (-a)^2 = [/mm] a²
=> c² = a²

2.Fall:
a [mm]\geq[/mm] 0
=> |a| = a  und somit [mm] |a|^2 = (a)^2 = a²[/mm]
=> c² = a²

II.
d² = b²

1.Fall: b [mm]\leq[/mm] 0
=> |b| = -b  und somit [mm] |b|^2 = (-b)^2 = b^2[/mm]
=> d² = b²

2.Fall:
a [mm]\geq[/mm] 0
=> |b| = b  und somit [mm] |b|^2 = (b)^2 = b^2[/mm]
=> d² = b²

==> o.B.d.A. : a,b [mm]\geq[/mm] 0!


Nun zu den Implikationen:
A: |a| < |b|
B: a² < b²

I.Wir zeigen die Implikation A => B direkt durch eine geeignete Implikationskette:
|a| < |b| = a < b = a² < b²

Die Kette ist aber ein wenig zu kurz, oder?!

Für Hilfe dankend im Voraus,
Melanie



Bezug
                                
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 23.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> falscher Button. sorry
>  
> ...[mm] |a|^2 = (-a)^2 =[/mm] a²
>  => c² = a²

>  
> 2.Fall:
>  a [mm]\geq[/mm] 0
>  => |a| = a  und somit [mm]|a|^2 = (a)^2 = a²[/mm]

>  => c² = a²

[ok]

> II.
>  d² = b²

Hier kannst du sagen: folgt genauso wie [mm] $c^2 [/mm] = [mm] a^2$. [/mm]

> ==> o.B.d.A. : a,b [mm]\geq[/mm] 0!
>  
>
> Nun zu den Implikationen:
>  A: |a| < |b|
>  B: a² < b²
>  
> I.Wir zeigen die Implikation A => B direkt durch eine
> geeignete Implikationskette:
>  |a| < |b| = a < b = a² < b²

Also die Gleichheitszeichen da muessen weg!

> Die Kette ist aber ein wenig zu kurz, oder?!

Du musst sie begruenden.

Du kennst doch sicher das Axiom $x < y [mm] \wedge [/mm] z > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x z < y z$.

Das musst du (zweimal) benutzen...

Fang mit [mm] $a^2 [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] a$ an und hoer mit [mm] $b^2 [/mm] = b [mm] \cdot [/mm] b$ auf. Und benutze $a < b$.

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 Mi 24.11.2010
Autor: Melanie-Buwe

Hallo Felix

vielen Dank für Deine Hilfe, aber leider muss ich sagen, das ich davon noch nie was gehört habe.
Von Körperaxiomen schon, aber von diesem noch nicht.

Irgendwie werd ich auch nicht fündig im Internet...-.-
sorry aber ich hab jetzt fast ne ganze Stunde danach gesucht...
Wüsstest Du vielleicht eine gute Seite?

Dankend
Melanie


Bezug
                                                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:07 Do 25.11.2010
Autor: felixf

Moin Melanie!

> vielen Dank für Deine Hilfe, aber leider muss ich sagen,
> das ich davon noch nie was gehört habe.
>  Von Körperaxiomen schon, aber von diesem noch nicht.

Schau mal []hier.

Was nun ein Axiom und was eine Folgerung/Eigenschaft ist haengt ganz davon ab, wie man es definiert. Wie es bei euch nun genau ist in der Vorlesung weiss ich nicht...

Aus der entsprechenden Gleichung mit [mm] $\le$ [/mm] kannst du die mit $<$ bekommen, das ist nicht viel Arbeit.

LG Felix


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