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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Oli12 |
| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen, q sei ungerade.
Wie viele Elemente x von K lassen sich in der Gestalt x = y² schreiben mit einem geeigneten (von x abhängigen) y [mm] \in [/mm] K? |
Ich habe keine Ahnung wie ich da übehaupt anfangen soll? Muss ich da irgendwie mit Äquivalenzklassen arbeiten?!
Bitte um Hilfe,
Danke
Oli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Oli,
das ist alles andere als eine leichte Aufgabe, je nachdem, wieviel Zahlentheorie Du so kannst. Es empfiehlt sich mindestens die Kenntnis der Funktion [mm] \varphi(n) [/mm] sowie ein bisschen Wissen über quadratische Reste.
Hier ein paar Angaben über die Zahl der Elemente, die als Quadrat zu schreiben sind:
in [mm] \IZ_7 [/mm] und in [mm] \IZ_9: [/mm] 4
in [mm] \IZ_{13}: [/mm] 7, aber in [mm] \IZ_{15}: [/mm] 6
in [mm] \IZ_{23}: [/mm] 12, aber in [mm] \IZ_{25} [/mm] und [mm] \IZ_{27}: [/mm] 11
edit: [mm] \IZ_{9}, \IZ_{15}, \IZ_{25}, \IZ_{27} [/mm] sind keine Körper! Das Beispiel ist von daher irrelevant. Man beachte leduarts Hinweis.
Gibt es vielleicht weitere Einschränkungen, wie q aufgebaut ist? Ist es vielleicht prim? Dann ist eine eindeutige Antwort möglich. Das bleibt die entscheidende Spur...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Oli12 |
> Gibt es vielleicht weitere Einschränkungen, wie q aufgebaut
> ist? Ist es vielleicht prim? Dann ist eine eindeutige
> Antwort möglich.
hi reverend, danke für deine schnelle antwort. Nein q ist leider nicht weiter eingeschränkt aber da wir y in abhängigkeit von x schreiben müssen, soll doch gar keine "eindeutige" Lösung her? Oder sehe ich das falsch?
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Hallo oli,
> ...aber da wir y in
> abhängigkeit von x schreiben müssen, soll doch gar keine
> "eindeutige" Lösung her? Oder sehe ich das falsch?
Na, ich denke doch: die Frage war ja "wie viele Elemente"...?
Allgemein kann man bei q=2k+1 Elementen nur sagen, dass sich höchstens k+1 Elemente als Quadrat schreiben lassen. Dies wird allerdings nur dann erreicht, wenn q prim ist.
Hattet Ihr zahlentheoretische Funktionen? Teilerzahl? Quadratische Reste? Ich sehe nicht, wie man es ohne das lösen könnte (und im Moment übrigens noch nicht einmal, wie es dann mit diesen Methoden geht...).
Ich lasse mal auf "teilweise beantwortet", vielleicht hat ja noch jemand anders eine Idee.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mi 11.03.2009 | | Autor: | Oli12 |
Hallo reverend,
> Hattet Ihr zahlentheoretische Funktionen? Teilerzahl?
> Quadratische Reste? Ich sehe nicht, wie man es ohne das
> lösen könnte (und im Moment übrigens noch nicht einmal, wie
> es dann mit diesen Methoden geht...).
Danke nochmals für die Antwort. Kann mich nicht dran erinnern, dass wir das hatten! Würde mich auch sehr wundern... Aber wenn du selbst nicht weißt wie man damit auf eine Lösung kommen sollte dann zweifel ich soweit an meinen Fähigkeiten als dass ich sagen würde dass ichs selbst nicht hinbekommen würde... :(
gruß
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 11.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da K ein Koerper sein soll muss q prim sein. wenn q nicht prim ist, dann ist [mm] \IZ_q [/mm] kein Koerper.
Dann ist die aufgabe viel einfacher.
Sieh dir an, was und warum mit den ersten 3 oder 4 primen Restkoerpern passiert, dann siehst du wie es laeuft.
gruss leduart
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