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| Aufgabe | Es gibt einen Körper ( [mm] \IF_2 [/mm] , + , *) mit 2 elementen, und alle anderen körper mit 2 elementen sind zu diesem isomorph. wie sehen additions- und multiplikationstabellen aus?
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ich hab mir überlegt, dass es doch eigentlich egal ist welchen körper [mm] \IF_2 [/mm] ich nehme. da ist doch jeder andere 2elementige körper automatisch isomorph zu?! oder hab ich da jetzt nen denkfehler?
die bijektivität ist gegeben und homomorphismen sinds doch auch?
aber irgendwie glaub ich meinen ideen nie so 
vielleicht kann mir ja einer helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt einen Körper ( [mm]\IF_2[/mm] , + , *) mit 2 elementen, und
> alle anderen körper mit 2 elementen sind zu diesem
> isomorph. wie sehen additions- und multiplikationstabellen
> aus?
>
> ich hab mir überlegt, dass es doch eigentlich egal ist
> welchen körper [mm]\IF_2[/mm] ich nehme. da ist doch jeder andere
> 2elementige körper automatisch isomorph zu?! oder hab ich
> da jetzt nen denkfehler?
nein, nur das mit dem automatisch gefällt mir nicht. Um die Existenz eines solchen Körpers nachzuweisen, kann man einfach zwei verschiedene Elemente (die nennst Du dann meinetwegen [mm] '$\text{oh}$' [/mm] und [mm] '$\text{ei}$'; [/mm] oder nimm' meinetwegen ruhig auch [mm] $\black{0}$ [/mm] und [mm] $\black{1}$) [/mm] und schreibst dann die Multiplikationstabelle und die Additionstabelle auf, oder halt einzelnen:
[mm] $\text{ei}+\text{ei}:=\text{oh}$, $\text{ei}*\text{oh}:=\text{oh}$, [/mm] ...
(Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 2.5 2.)
Dann begründest Du, dass [mm] $(\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)$ [/mm] auch wirklich ein Körper ist.
> die bijektivität ist gegeben und homomorphismen sinds doch
> auch?
> aber irgendwie glaub ich meinen ideen nie so
> vielleicht kann mir ja einer helfen.
Ja, aber das musst Du schon explizit nachprüfen. Ist nun [mm] $(\{a,b\},\oplus,\odot)$ [/mm] ein weiterer Körper mit $a [mm] \not=b$, [/mm] so überlege Dir, wie hier die Multiplikationstabelle und wie die Additionstabelle aussehen muss. Dabei mußt Du Dir im Klaren sein, dass es in jedem Körper ja genau ein Einselement und genau ein Nullelement gibt (oben war [mm] $\text{oh}$ [/mm] das Nullelement und [mm] $\text{ei}$ [/mm] das Einselement; nur zur Ergänzung). O.E. nimm' nun an, dass [mm] $\black{a}$ [/mm] dann das Nullelement und das [mm] $\black{b}$ [/mm] dann das Einselement sei (andernfalls vertausche man die Rollen von [mm] $\black{a}$ [/mm] und [mm] $\black{b}$).
[/mm]
Und jetzt kannst eine solche Abbildungen, deren Existenz Du nachweisen sollst, auch explizit hinschreiben. (Vgl. Definition 3.9 in obigem Skript.)
Es gibt ja nicht viele Möglichkeiten, wie die aussehen könnte. Und naheliegend ist es, dass Nullelement des Körper [mm] $(\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)$ [/mm] dem ...element des Körpers [mm] $(\{a,b\},\oplus,\odot)$, [/mm] und das Einselement des Körpers [mm] $(\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)$ [/mm] dem ...element des Körpers [mm] $(\{a,b\},\oplus,\odot)$ [/mm] zuzuordnen.
(Ja, die ... sind so trivial zu ergänzen, dass ich auch direkt hätte hinschreiben können, was da hingehört. Nichtsdestotrotz sollst Du das mal machen  )
(P.S.: Es ist klar, dass [mm] $\black{+}$ [/mm] bzw. [mm] $\oplus$ [/mm] die Addtion und [mm] $\dot$ [/mm] bzw. [mm] $\odot$ [/mm] die Multiplikation im jeweiligen Körper meint.)
Aber Du siehst:
Insgesamt hat man schon, wenn man mal alles aufschreibt, was man zu zeigen hat, schon mehr zu tun, als nur zu sagen: Das gilt, weil es gilt. oder Das gilt, weil es trivial ist.
Mir ist schon klar, dass Du sicher gedacht hast: Na, die Aufgabe ist ja so offensichtlich, da braucht man doch gar nichts mehr zu zeigen.
Aber in Wahrheit muss man schon einen Körper explizit hinschreiben (damit man dessen Existenz nachgewiesen hat) und zudem auch eine Abbildung wie in Definition 3.9 hinschreiben. Auch, wenn dies' eine ganz natürliche und triviale Abbildung sein wird...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Es gibt einen Körper ( [mm]\IF_2[/mm] , + , *) mit 2 elementen, und
> > alle anderen körper mit 2 elementen sind zu diesem
> > isomorph. wie sehen additions- und multiplikationstabellen
> > aus?
> >
> > ich hab mir überlegt, dass es doch eigentlich egal ist
> > welchen körper [mm]\IF_2[/mm] ich nehme. da ist doch jeder andere
> > 2elementige körper automatisch isomorph zu?! oder hab ich
> > da jetzt nen denkfehler?
>
> nein, nur das mit dem automatisch gefällt mir nicht. Um die
> Existenz eines solchen Körpers nachzuweisen, kann man
> einfach zwei verschiedene Elemente (die nennst Du dann
> meinetwegen '[mm]\text{oh}[/mm]' und '[mm]\text{ei}[/mm]'; oder nimm'
> meinetwegen ruhig auch [mm]\black{0}[/mm] und [mm]\black{1}[/mm]) und
> schreibst dann die Multiplikationstabelle und die
> Additionstabelle auf, oder halt einzelnen:
> [mm]\text{ei}+\text{ei}:=\text{oh}[/mm],
> [mm]\text{ei}*\text{oh}:=\text{oh}[/mm], ...
>
> (Siehe auch
> Beispiel 2.5 2.)
>
> Dann begründest Du, dass [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm]
> auch wirklich ein Körper ist.
>
> > die bijektivität ist gegeben und homomorphismen sinds doch
> > auch?
> > aber irgendwie glaub ich meinen ideen nie so
> > vielleicht kann mir ja einer helfen.
>
> Ja, aber das musst Du schon explizit nachprüfen. Ist nun
> [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm] ein weiterer Körper mit [mm]a \not=b[/mm], so
> überlege Dir, wie hier die Multiplikationstabelle und wie
> die Additionstabelle aussehen muss. Dabei mußt Du Dir im
> Klaren sein, dass es in jedem Körper ja genau ein
> Einselement und genau ein Nullelement gibt (oben war
> [mm]\text{oh}[/mm] das Nullelement und [mm]\text{ei}[/mm] das Einselement;
> nur zur Ergänzung). O.E. nimm' nun an, dass [mm]\black{a}[/mm] dann
> das Nullelement und das [mm]\black{b}[/mm] dann das Einselement sei
> (andernfalls vertausche man die Rollen von [mm]\black{a}[/mm] und
> [mm]\black{b}[/mm]).
>
> Und jetzt kannst eine solche Abbildungen, deren Existenz Du
> nachweisen sollst, auch explizit hinschreiben. (Vgl.
> Definition 3.9 in obigem Skript.)
>
> Es gibt ja nicht viele Möglichkeiten, wie die aussehen
> könnte. Und naheliegend ist es, dass Nullelement des Körper
> [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm] dem a ] -element des Körpers
> [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm], und das Einselement des Körpers
> [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm] dem b element des Körpers
> [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm] zuzuordnen.
>
> (Ja, die ... sind so trivial zu ergänzen, dass ich auch
> direkt hätte hinschreiben können, was da hingehört.
> Nichtsdestotrotz sollst Du das mal machen )
>
> (P.S.: Es ist klar, dass [mm]\black{+}[/mm] bzw. [mm]\oplus[/mm] die Addtion
> und [mm]\dot[/mm] bzw. [mm]\odot[/mm] die Multiplikation im jeweiligen Körper
> meint.)
>
> Aber Du siehst:
> Insgesamt hat man schon, wenn man mal alles aufschreibt,
> was man zu zeigen hat, schon mehr zu tun, als nur zu sagen:
> Das gilt, weil es gilt. oder Das gilt, weil es trivial
> ist.
>
> Mir ist schon klar, dass Du sicher gedacht hast: Na, die
> Aufgabe ist ja so offensichtlich, da braucht man doch gar
> nichts mehr zu zeigen.
>
> Aber in Wahrheit muss man schon einen Körper explizit
> hinschreiben (damit man dessen Existenz nachgewiesen hat)
> und zudem auch eine Abbildung wie in Definition 3.9
> hinschreiben. Auch, wenn dies' eine ganz natürliche und
> triviale Abbildung sein wird...
>
> Gruß,
> Marcel
Danke erstmal, für deine Hilfe,
jetzt hab ich ja gezeigt, dass irgendein [mm] IF_2 [/mm] ({0,1},+,*) isomorph zu irgendeinem anderen [mm] IF_2 [/mm] ({a,b},+,*) ist. muss ich jetzt nich auch noch zeigen, dass {0,1} auch isomorph zu einem zweiten [mm] IF_2 [/mm] ({c,d},+,*) ist um sagen zu können, dass jeder 2-elementige körper isomorph zu einem anderen 2-elementigen körper ist.
die argumentation wäre dann {0,1} ist isomorph zu {a,b} und zu {c,d} also sind auch {a,b} und {c,d} isomorph zueinander. oder ist das überflüssig?
gruß chris
ps. die roten buchstaben sind richtig,oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
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> > > Es gibt einen Körper ( [mm]\IF_2[/mm] , + , *) mit 2 elementen, und
> > > alle anderen körper mit 2 elementen sind zu diesem
> > > isomorph. wie sehen additions- und multiplikationstabellen
> > > aus?
> > >
> > > ich hab mir überlegt, dass es doch eigentlich egal ist
> > > welchen körper [mm]\IF_2[/mm] ich nehme. da ist doch jeder andere
> > > 2elementige körper automatisch isomorph zu?! oder hab ich
> > > da jetzt nen denkfehler?
> >
> > nein, nur das mit dem automatisch gefällt mir nicht. Um die
> > Existenz eines solchen Körpers nachzuweisen, kann man
> > einfach zwei verschiedene Elemente (die nennst Du dann
> > meinetwegen '[mm]\text{oh}[/mm]' und '[mm]\text{ei}[/mm]'; oder nimm'
> > meinetwegen ruhig auch [mm]\black{0}[/mm] und [mm]\black{1}[/mm]) und
> > schreibst dann die Multiplikationstabelle und die
> > Additionstabelle auf, oder halt einzelnen:
> > [mm]\text{ei}+\text{ei}:=\text{oh}[/mm],
> > [mm]\text{ei}*\text{oh}:=\text{oh}[/mm], ...
> >
> > (Siehe auch
> >
> Beispiel 2.5 2.)
>
> >
> > Dann begründest Du, dass [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm]
> > auch wirklich ein Körper ist.
> >
> > > die bijektivität ist gegeben und homomorphismen sinds doch
> > > auch?
> > > aber irgendwie glaub ich meinen ideen nie so
> > > vielleicht kann mir ja einer helfen.
> >
> > Ja, aber das musst Du schon explizit nachprüfen. Ist nun
> > [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm] ein weiterer Körper mit [mm]a \not=b[/mm], so
> > überlege Dir, wie hier die Multiplikationstabelle und wie
> > die Additionstabelle aussehen muss. Dabei mußt Du Dir im
> > Klaren sein, dass es in jedem Körper ja genau ein
> > Einselement und genau ein Nullelement gibt (oben war
> > [mm]\text{oh}[/mm] das Nullelement und [mm]\text{ei}[/mm] das Einselement;
> > nur zur Ergänzung). O.E. nimm' nun an, dass [mm]\black{a}[/mm] dann
> > das Nullelement und das [mm]\black{b}[/mm] dann das Einselement sei
> > (andernfalls vertausche man die Rollen von [mm]\black{a}[/mm] und
> > [mm]\black{b}[/mm]).
> >
> > Und jetzt kannst eine solche Abbildungen, deren Existenz Du
> > nachweisen sollst, auch explizit hinschreiben. (Vgl.
> > Definition 3.9 in obigem Skript.)
> >
> > Es gibt ja nicht viele Möglichkeiten, wie die aussehen
> > könnte. Und naheliegend ist es, dass Nullelement des Körper
> > [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm] dem a ] -element des Körpers
> > [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm], und das Einselement des Körpers
> > [mm](\{\text{oh}, \text{ei}\},+,*)[/mm] dem b element des Körpers
> > [mm](\{a,b\},\oplus,\odot)[/mm] zuzuordnen.
> >
> > (Ja, die ... sind so trivial zu ergänzen, dass ich auch
> > direkt hätte hinschreiben können, was da hingehört.
> > Nichtsdestotrotz sollst Du das mal machen )
> >
> > (P.S.: Es ist klar, dass [mm]\black{+}[/mm] bzw. [mm]\oplus[/mm] die Addtion
> > und [mm]\dot[/mm] bzw. [mm]\odot[/mm] die Multiplikation im jeweiligen Körper
> > meint.)
> >
> > Aber Du siehst:
> > Insgesamt hat man schon, wenn man mal alles
> aufschreibt,
> > was man zu zeigen hat, schon mehr zu tun, als nur zu sagen:
> > Das gilt, weil es gilt. oder Das gilt, weil es trivial
> > ist.
> >
> > Mir ist schon klar, dass Du sicher gedacht hast: Na, die
> > Aufgabe ist ja so offensichtlich, da braucht man doch gar
> > nichts mehr zu zeigen.
> >
> > Aber in Wahrheit muss man schon einen Körper explizit
> > hinschreiben (damit man dessen Existenz nachgewiesen hat)
> > und zudem auch eine Abbildung wie in Definition 3.9
> > hinschreiben. Auch, wenn dies' eine ganz natürliche und
> > triviale Abbildung sein wird...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke erstmal, für deine Hilfe,
> jetzt hab ich ja gezeigt, dass irgendein [mm]IF_2[/mm] ({0,1},+,*)
> isomorph zu irgendeinem anderen [mm]IF_2[/mm] ({a,b},+,*) ist. muss
> ich jetzt nich auch noch zeigen, dass {0,1} auch isomorph
> zu einem zweiten [mm]IF_2[/mm] ({c,d},+,*) ist um sagen zu können,
> dass jeder 2-elementige körper isomorph zu einem anderen
> 2-elementigen körper ist.
> die argumentation wäre dann {0,1} ist isomorph zu {a,b} und
> zu {c,d} also sind auch {a,b} und {c,d} isomorph
> zueinander. oder ist das überflüssig?
> gruß chris
> ps. die roten buchstaben sind richtig,oder?!
zu den roten Buchstaben: Ja, das $a$-Element war ja das Nullelement und das $b$-Element das Einselement. Ich wollte nur darauf hinaus: Nullelement wird Nullelement und Einselement wird Einselement zugeordnet. Aber das steht bei Dir ja.
Zu dem Rest: Laut Aufgabenstellung geht's ja nur darum, dass alle zweielementigen Körper zu dem [mm] $\IF_2$-Körper [/mm] isomorph sind.
Wenn Du natürlich beweist, dass alle $2$-elementigen Körper zueinander isomorph sind, so folgt daraus natürlich auch, dass jeder zweielementige Körper zu [mm] $\IF_2$ [/mm] isomorph ist.
Denn [mm] $\IF_2$ [/mm] war ja per Konstruktion ein Körper mit $2$ Elementen.
Aber wie gesagt:
Die Aufgabenstellung sagt eigentlich: Zeige (z.B. durch Konstruktion bzw. durch konkrete Angabe), dass es einen Körper mit $2$ Elementen gibt. Nenne diesen (kurz) [mm] $\IF_2$.
[/mm]
Nun zeige: Wenn Du irgendeinen anderen Körper mit $2$ Elementen hast, dann ist dieser zu dem (also zu [mm] $\IF_2$) [/mm] isomorph.
Und jetzt zu Deinem Beweis.:
1.) Du konstruierst einen solchen Körper [mm] $\IF_2$.
[/mm]
2.) Du zeigst: Wenn Du zwei zweielementige Körper, die ich mal [mm] $K_2$ [/mm] und [mm] $K_2'$ [/mm] nenne, hast, dann sind diese zueinander isomorph.
3.) Aus 1.) und 2.) folgt, dass jeder zweielementige Körper [mm] $K_2$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IF_2$ [/mm] ist. Denn: Setze in 2.) einfach [mm] $K_2':=\IF_2\,.$
[/mm]
Also: Das, was Du zeigst, beinhaltet insbesondere die Aussage, die Du zeigen sollst. Aber da sollte man schon das Argument von 3.) dazuschreiben, auch wenn das offensichtlich ist.
Gruß,
Marcel
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