Koeffizientenvergleich < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
möchte hier gerade eine partikuläre Lösung einer linearen DGL 1. Ordnung ausrechnen. Habe die Lösungen schon aus den Übungsstunden, verstehe hier allerdings eine Integrationssache nicht.
Es soll folgendes integriert werden:
[mm] \integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx}
[/mm]
und das wurde folgendermaßen gelöst:
[mm] e^{-3*x} [/mm] * [mm] (x^2+1) [/mm] = [mm] -2*e^{-3*x} [/mm] * [mm] (Ax^2 [/mm] + Bx + C) + [mm] e^{-3*x} [/mm] *(2A + B)
[mm] x^2 \to [/mm] 1 = -3A [mm] \Rightarrow [/mm] A= [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
x [mm] \to [/mm] 0 = -3B + 2A [mm] \Rightarrow [/mm] B= [mm] -\bruch{2}{9}
[/mm]
1 [mm] \to [/mm] 1 = -3C + B [mm] \Rightarrow [/mm] C= [mm] -\bruch{11}{27}
[/mm]
Und damit ist dann:
[mm] \integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx} [/mm] = [mm] e^{-3*x}* (-\bruch{1}{3}*x^2 -\bruch{2}{9}*x [/mm] + [mm] \bruch{11}{27})
[/mm]
Und ich verstehe ehrlich gesagt den sogenannten "Koeffizientenvergleich" nicht. Was genau wird da gemacht? Und warum kann man so integrieren?
Habe das auch mal versucht mit partieller Integration zu lösen, allerdings muss man dann später in der partiellen Integration nochmal partiell integrieren und es ist halt mit viel Aufwand. Im Gegenteil zu hier, dass sind ja lediglich ein paar Zeilen, deswegen würde ich gerne wissen, wie das mit dem Koeffizientenvergleich funktioniert.
Hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank schon mal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 27.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo uecki,
diese Art der Integration kannte ich auch noch nicht 
> Hallo,
>
> möchte hier gerade eine partikuläre Lösung einer
> linearen DGL 1. Ordnung ausrechnen. Habe die Lösungen
> schon aus den Übungsstunden, verstehe hier allerdings eine
> Integrationssache nicht.
> Es soll folgendes integriert werden:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx}[/mm]
>
> und das wurde folgendermaßen gelöst:
> [mm] e^{-3*x}*(\green{1}x^2+\blue{0}x+\green{1})=\blue{-3}*e^{-3*x}*(Ax^2+\blue{B}x [/mm] + [mm] C)+e^{-3*x}*(\blue{2A}x+B)
[/mm]
Der Faktor -2 ist falsch, das sollte -3 heißen und in der letzten Klammer fehlt(e) ein x hinter 2A - ich habe das hier schon entsprechend korrigiert. Ich habe dir die Koeffizienten, die zum Vergleich herangezogen werden grün eingefärbt und beispielhaft den Koeffizienten [mm] \blue{0} [/mm] vor dem x halt blau. Ich hoffe du steigst so durch.
> [mm] x^2 \to\ \green{1} [/mm] = -3A [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> x [mm] \to\ \blue{0} [/mm] = -3B + 2A [mm]\Rightarrow[/mm] B= [mm]-\bruch{2}{9}[/mm]
in diesem Ergebnis wurde zusätzlich die Lösung [mm] A=-\bruch{1}{3} [/mm] verwendet.
> 1 [mm] \to\ \green{1} [/mm] = -3C + B [mm]\Rightarrow[/mm] C= [mm]-\bruch{11}{27}[/mm]
>
> Und damit ist dann:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx}[/mm] = [mm]e^{-3*x}* (-\bruch{1}{3}*x^2 -\bruch{2}{9}*x[/mm]
> + [mm]\bruch{11}{27})[/mm]
>
> Und ich verstehe ehrlich gesagt den sogenannten
> "Koeffizientenvergleich" nicht. Was genau wird da gemacht?
> Und warum kann man so integrieren?
> Habe das auch mal versucht mit partieller Integration zu
> lösen, allerdings muss man dann später in der partiellen
> Integration nochmal partiell integrieren und es ist halt
> mit viel Aufwand. Im Gegenteil zu hier, dass sind ja
> lediglich ein paar Zeilen, deswegen würde ich gerne
> wissen, wie das mit dem Koeffizientenvergleich
> funktioniert.
> Hoffe mir kann jemand helfen.
> Vielen Dank schon mal.
> LG
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Do 27.08.2009 | | Autor: | uecki |
Ich finde irgendwie, dass diese Methode Ähnlichkeit mit der Kettenregel für Ableitungen hat. Kann das sein? Weil ich habe ja auf der rechten Seite einmal [mm] e^{-3x} [/mm] abgeleitet zu [mm] -3*e^{-3x} [/mm] das dann * [mm] (Ax^2.......also [/mm] quasi die Funktion [mm] x^2+1) [/mm] und dann + [mm] e^{-3x} [/mm] * (so wie die Ableitung der Funktion [mm] x^2+1 [/mm] aussehen müsste, also 2Ax+B, ist ja sozusagen allgemein geschrieben die Ableitung von [mm] x^2+1). [/mm]
Stimmt mein Verständnis denn so?
Hoffe jemand versteht was ich meine^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Do 27.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Ich finde irgendwie, dass diese Methode Ähnlichkeit mit
> der Kettenregel für Ableitungen hat. Kann das sein? Weil
> ich habe ja auf der rechten Seite einmal [mm]e^{-3x}[/mm] abgeleitet
> zu [mm]-3*e^{-3x}[/mm] das dann * [mm](Ax^2.......also[/mm] quasi die
> Funktion [mm]x^2+1)[/mm] und dann + [mm]e^{-3x}[/mm] * (so wie die Ableitung
> der Funktion [mm]x^2+1[/mm] aussehen müsste, also 2Ax+B, ist ja
> sozusagen allgemein geschrieben die Ableitung von [mm]x^2+1).[/mm]
> Stimmt mein Verständnis denn so?
> Hoffe jemand versteht was ich meine^^
ja, das sehe ich auch so Deine Frage ist ja auch noch (halb)offen.
Lg
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> möchte hier gerade eine partikuläre Lösung einer
> linearen DGL 1. Ordnung ausrechnen. Habe die Lösungen
> schon aus den Übungsstunden, verstehe hier allerdings eine
> Integrationssache nicht.
> Es soll folgendes integriert werden:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx}[/mm]
>
> und das wurde folgendermaßen gelöst:
> [mm]e^{-3*x}[/mm] * [mm](x^2+1)[/mm] = [mm]-2*e^{-3*x}[/mm] * [mm](Ax^2[/mm] + Bx + C) +
> [mm]e^{-3*x}[/mm] *(2A + B)
>
> [mm]x^2 \to[/mm] 1 = -3A [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> x [mm]\to[/mm] 0 = -3B + 2A [mm]\Rightarrow[/mm] B= [mm]-\bruch{2}{9}[/mm]
> 1 [mm]\to[/mm] 1 = -3C + B [mm]\Rightarrow[/mm] C= [mm]-\bruch{11}{27}[/mm]
>
> Und damit ist dann:
>
> [mm]\integral_{}^{}{e^{-3*x} * (x^2+1) dx}[/mm] = [mm]e^{-3*x}* (-\bruch{1}{3}*x^2 -\bruch{2}{9}*x[/mm]
> + [mm]\bruch{11}{27})[/mm]
>
> Und ich verstehe ehrlich gesagt den sogenannten
> "Koeffizientenvergleich" nicht. Was genau wird da gemacht?
> Und warum kann man so integrieren?
Es hängt alles daran, dass die Ableitung der e-Funktion wieder eine e-Funktion ergibt. Wenn ich also ein Polynom mit einer e-Funktion multipliziere und das Ganze ableite, kommt wieder ein Produkt aus e-Funktion und Polynom heraus:
[mm] \left(e^{-3x} * p(x)\right)' = -3 e^{-3x} * p(x) + e^{-3x} * p'(x) = e^{-3x}* (-3 p(x) + p'(x) ) [/mm]
Insbesondere hat das Polynom $(-3 p(x) + p'(x))$ den gleichen Grad wie $p(x)$.
Daraus kann man die Umkehrung schließen: auch bei der Integration kommt wieder ein Ausdruck der Form e-Funktion mal Polynom heraus.
Wenn ich also [mm] $e^{-3x}*q(x)$ [/mm] integrieren will, und es mir gelingt ein Polynom $p(x)$ zu finden, sodass
[mm] e^{-3x}* (-3 p(x) + p'(x) ) = e^{-3x}*q(x) \gdw -3 p(x) + p'(x) = q(x)[/mm],
dann weiß ich, dass [mm] $e^{-3x} [/mm] * p(x)$ die gesuchte Stammfunktion ist. Jetzt setze ich $p(x)$ als Polynom mit gleichem Grad wie $q(x)$ und unbestimmten Koeffizienten an, $p(x) [mm] =Ax^2+Bx+C$, [/mm] und mache den Vergleich.
Letzten Endes ist es eine Art von partieller Integration, nur in die andere Richtung, denn wenn ich von [mm] $e^{-3x}* [/mm] (-3 p(x) + p'(x) ) $ ausgehe, bekomme ich mit partieller Integration:
[mm] \integral e^{-3x}* (-3 p(x) + p'(x) ) dx = -3 \integral e^{-3x} p(x) dx + \integral e^{-3x} p'(x) dx =
e^{-3x} p(x) - \integral e^{-3x} p'(x) dx + \integral e^{-3x} p'(x) dx = e^{-3x} p(x)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
