Knotenpotenzialverfahren < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die angegebene Schaltung mit [mm] U_{1} [/mm] = 30V und [mm] U_{2} [/mm] = 24V enthält die Widerstände [mm] R_{1}=5Ω [/mm] und [mm] R_{2} [/mm] = [mm] R_{3} [/mm] = 10Ω.
Es sind die in den Widerständen [mm] R_{1}, R_{2} [/mm] und [mm] R_{3} [/mm] fließende Ströme mit dem Knotenpotenzialverfahren zu bestimmen.
Die Schaltung besteht aus einem Parallelaufbau, alle drei Widerstände liegen parallel zueinander im Zweig von [mm] R_{1} [/mm] befindet sich die Spannungsquelle [mm] U_{1} [/mm] im Zweig von [mm] R_{2} [/mm] befindet sich die Spannungsquelle [mm] U_{2}!
[/mm]
Die Richtungspfeile der Ströme [mm] I_{R1},I_{R2},I_{R3} [/mm] sowie die der Spannungsquellen sind nach unten Gerichtet auf den gemeinsam zusammenlaufenden Punkt!
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Ich wollte diese Aufgabe ohne Umwandlung der Spannungsquellen in Stromquellen lösen!
Mein bisher aufgestelltes:
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Ich habe zuerst die Knoten ermittelt, diese dann mit dem Knotenpotenzialschema aufgelistet!
Nun bin ich mir aber unsicher ob die Matrix so stimmt!
Bin folgendermaßen vorgegangen:
1. Potenzialpunkte festgelegt
2. Knotenleitwerte ermittelt - Diagonale
3. Kopplungsleitwerte ermittelt
4. Pfeilrichtungen beachtet, für U auf Bezugsknoten, wenn die Ströme entgegen dem Bezugsknoten, negativ, ansonsten positiv!
Es ergab sich folgende Matrix (I's von den R's gedreht - siehe Frage weiter unten!):
K1 K2 K3 [mm] I_{q1} I_{q2}
[/mm]
[mm] \pmat{ G_{1} & -1 & 0 & 1 & 0
\\ -1 & G_{3} & -1 & 1 & 1
\\ 0 & -1 & G_{2} & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 } \vektor{ U_{10} \\ U_{20} \\ U_{30} \\ I_{q1} \\ I_{q2}} [/mm] = [mm] \vektor{ -I_{1} \\ -I_{2} \\ -I_{3} \\ U_{1} \\ U_{2}}
[/mm]
Mit der Diagonalen bin ich mir sicher!
Nur die "Kopplungen" der Spannungsquelle und die Einsen von [mm] I_{q1} [/mm] & [mm] I_{q2} [/mm] sind zwar abgelesen aber ich bin mir bei diesen unsicher!!!
[mm] I_{1}, I_{2}, I_{3} [/mm] habe ich als negativ abgeändert, hätte ich hier auch [mm] U_{10}, U_{20}, U_{30} [/mm] negativ schreiben können und die beibehalten ?
Ich habe des Weiteren noch keinen anderen Weg genutzt und leider keine Lösungen zu der Aufgabe!
(Endergebnisse wären cool - falls Ihr mir diese zum Vergleich geben könntet)
Vielen Dank, im Voraus, für eure Antworten :)
MFG
Kerberos
PS: Habe diese Aufgabe niergens anders online gestellt oder nach Ihr gefragt!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mi 02.12.2009 | | Autor: | GvC |
Das sind eindeutig zu viele Gleichungen. Das Knotenpotentialverfahren zeichnet sich dadurch aus, dass man zur Bestimmung der Knotenspannungen (=Knotenpotentiale) gerade so viele Knotenpunktgleichungen aufstellen muss, wie das Netzwerk an unabhängigen Knoten aufweist. Die Zweigströme ergeben sich dann durch Überlagerung der Teilströme infolge der an einem Zweig beteiligten Ursachen. Ursachen für Ströme sind immer Spannungen, also hier Knotenspannungen und eingeprägte Spannungen. Da das Netzwerk nur zwei Knoten hat, gibt es nur eine unabhängige Knotenpunktgleichung. Du hast dem unteren Knoten das Potential Null zugewiesen, also musst Du für den oberen Knoten die Knotenpunktgleichung aufstellen:
[mm] U_{10} \cdot(G_1+G_2+G_3) [/mm] = [mm] U_1 \cdot G_1 [/mm] + [mm] U_2 \cdot G_2
[/mm]
Daraus lässt sich [mm] U_{10} [/mm] ja sofort bestimmen. Die Zweigströme ergeben sich dann zu
[mm] I_{R1} [/mm] = [mm] (U_{10} [/mm] - [mm] U_1) \cdot G_1
[/mm]
[mm] I_{R2} [/mm] = [mm] (U_{10} [/mm] - [mm] U_2) \cdot G_2
[/mm]
[mm] I_{R3} [/mm] = [mm] U_{10} \cdot G_3
[/mm]
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> Das sind eindeutig zu viele Gleichungen. Das
> Knotenpotentialverfahren zeichnet sich dadurch aus, dass
> man zur Bestimmung der Knotenspannungen (=Knotenpotentiale)
> gerade so viele Knotenpunktgleichungen aufstellen muss, wie
> das Netzwerk an unabhängigen Knoten aufweist.
OK - Das bedeutet also k-1 Knotengleichungen! Soweit verstehe ich deine Antwort! Habe nur gedacht, ich müßte die Spannungsquellen auch als Zweige und somit als Kontenverbindungen auffassen!
> Die
> Zweigströme ergeben sich dann durch Überlagerung der
> Teilströme infolge der an einem Zweig beteiligten
> Ursachen.
Du meinst hier die Überlagerung von dem ohmschen Gesetz für [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und der angenommenen Potenzialspannung [mm] U_{10} [/mm] ? Die daraus resultierenden Werte ergeben dann ja die Zweigströme!
> Ursachen für Ströme sind immer Spannungen, also
> hier Knotenspannungen und eingeprägte Spannungen.
Das dies die Ursache ist ist mir defakto auch klar ;) jedoch was genau meinst du mit eingeprägten Spannungen ?
-> Meinst du damit die Spannungen der Spannungsquellen [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] ?
Knotenspannung ist ja [mm] U_{10}, [/mm] von daher sollte das passen!
Die Nutzung "eingeprägte Spannungen" ist mir nicht so geläufig!
> Da das
> Netzwerk nur zwei Knoten hat, gibt es nur eine unabhängige
> Knotenpunktgleichung.
Dies war meine erst - Annahme, jedoch kam ich da auf keinen grünen Zweig mit dem Verfahren für die Spannungsquellen! (Also [mm] I_{q1} [/mm] und [mm] I_{q2} [/mm] verwenden um die Matrix aufzustellen, alle Kombinationen mit 1 & -1 in der Leitwertmatrix füllen und [mm] I_{q1} [/mm] & [mm] I_{q2} [/mm] in dem Multiplikationstherm aufnehmen, sowie [mm] U_{1}&U_{2} [/mm] mit in den Ergebnistherm übernehmen!)
> Du hast dem unteren Knoten das
> Potential Null zugewiesen, also musst Du für den oberen
> Knoten die Knotenpunktgleichung aufstellen:
>
> [mm]U_{10} \cdot(G_1+G_2+G_3)[/mm] = [mm]U_1 \cdot G_1[/mm] + [mm]U_2 \cdot G_2[/mm]
>
Dieser Teil resultiert aus der Knotenpotenzialaufstellung!
[mm] U_{10} \cdot(G_1+G_2+G_3)
[/mm]
Dies ist das ohmsche Gesetz!
[mm] U_1 \cdot G_1 [/mm] + [mm] U_2 \cdot G_2
[/mm]
Soweit ist es mir klar, nur die Gleichsetzung kann ich mir gerade nicht herleiten :(!
Denn, wenn ich die erste Gleichung so in meine unten angefügte Matrix schreibe erhalte ich ja:
[mm] U_{10} \cdot(G_1+G_2+G_3) [/mm] + [mm] U_1 \cdot G_1 [/mm] + [mm] U_2 \cdot G_2 [/mm] = [mm] I_{g}
[/mm]
Stelle ich das nun um, so würde ich ja immer noch einen Minustherm behalten! Oder habe ich in meiner Matrix unten ein Minuszeichen vergessen ?
> Daraus lässt sich [mm]U_{10}[/mm] ja sofort bestimmen. Die
> Zweigströme ergeben sich dann zu
>
> [mm]I_{R1}[/mm] = [mm](U_{10}[/mm] - [mm]U_1) \cdot G_1[/mm]
> [mm]I_{R2}[/mm] = [mm](U_{10}[/mm] - [mm]U_2) \cdot G_2[/mm]
>
> [mm]I_{R3}[/mm] = [mm]U_{10} \cdot G_3[/mm]
Die Spannun [mm] U_{10} [/mm] und die Leitwerte, die um den Punkt als Summe gebildet werden ist mir bewust! Kann ich denn die Spannungsquellen, wie die Stromquellen im Maschenverfahren, einfach als [mm] "\pm" [/mm] Therm rechts rüberbringen um die Matrix hier zu verkürzen ?!?
[mm] \pmat{ G_1+G_2+G_3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ U_{10} \\ I_{q1} \\ I_{q2} } [/mm] = [mm] \pmat{ I_{g} \\ U_{1} \\ U_{2} }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Do 03.12.2009 | | Autor: | GvC |
Ich glaube, Dir ist immer noch nicht klar, dass die Gleichung
[mm] U_{10}\cdot(G_1 [/mm] + [mm] G_2 [/mm] + [mm] G_3) [/mm] = [mm] U_1\cdot G_1 [/mm] + [mm] U_2\cdot G_2
[/mm]
die Knotenpunktgleichung für den einzigen unabbhängigen Knoten des gegebenen Netwerks ist. Warum machst Du solche mathematischen Bocksprünge, ohne zu wissen, was Du da tust?
Auf der linken Seite stehen die von [mm] U_{10} [/mm] verursachten Teilströme, während die Teilströme aufgrund der vorgegebenen Spannungen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm]
[mm] (I_{q1} [/mm] = [mm] U_1\cdot G_1 [/mm] und [mm] I_{q2} [/mm] = [mm] U_2\cdot G_2), [/mm] also die gegebenen Größen rechts des Gleichheitszeichens stehen. So macht man das üblicherweise in der Physik: links die gesuchten, rechts die gegebenen Größen. Du kannst diese Knotenpunktgleichung auch in Prosa ausdrücken: Summe aller vom Knoten wegfließenden (Teil-)Ströme ist gleich der Summe aller zum Knoten hinfließenden (Teil-)Ströme. Du bringst also nicht, wie Du gesagt hast, die Spannungsquellen "rechts rüber", sondern die (Teil-)Ströme infolge dieser Spannungsquellen. Immerhin handelt es sich ja um eine Knotenpunktgleichung, bei der Ströme addiert (subtrahiert) werden und keine Spannungen.
Was Dein sog. [mm] I_g [/mm] sein soll, bleibt mir unerfindlich. Es gibt keine einzige physikalische Gesetzmäßigkeit, die bei den vorgegebenen Richtungen der beiden Spannnungsquellen auf eine solche Gleichung führt, es sei denn Du definierst
[mm] I_g [/mm] = [mm] 2\cdot (U_1\cdot G_1 [/mm] + [mm] U_2\cdot G_2). [/mm] Aber warum sollte man sowas Unsinniges tun?
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> Ich glaube, Dir ist immer noch nicht klar, dass die
> Gleichung
>
Dem kann ich zustimmen, irgendwie reden wir scheinbar aneinander vorbei!
Wollte es mittels der Kirchoffschen - Gleichungen und dem Knotenpotenzialverfahren lösen! Zudem wollte ich die Spannungsquellen nicht in Stromquellen wandeln!
Hierzu haben wir in der Vorlesung die Matrix aufgestellt - die ich auch nutzen wollte!
Für die Spannungsquellen erhielten wir dann Einsen und Nullen! Je nach Bezug!
Die wollte ich testweise an der leichteren Aufgabe probieren und dann weiterführen!
*Halt Mathematisch lösen*
> [mm]U_{10}\cdot(G_1[/mm] + [mm]G_2[/mm] + [mm]G_3)[/mm] = [mm]U_1\cdot G_1[/mm] + [mm]U_2\cdot G_2[/mm]
>
> die Knotenpunktgleichung für den einzigen unabbhängigen
> Knoten des gegebenen Netwerks ist. Warum machst Du solche
> mathematischen Bocksprünge, ohne zu wissen, was Du da
> tust?
>
Diese "Bocksprünge" sind wie besagt 1. in der Vorlesung gegeben & 2. für Maschengleichungen klappt dies ganz gut!
> Auf der linken Seite stehen die von [mm]U_{10}[/mm] verursachten
> Teilströme, während die Teilströme aufgrund der
> vorgegebenen Spannungen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm]
> [mm](I_{q1}[/mm] = [mm]U_1\cdot G_1[/mm] und [mm]I_{q2}[/mm] = [mm]U_2\cdot G_2),[/mm] also die
> gegebenen Größen rechts des Gleichheitszeichens stehen.
> So macht man das üblicherweise in der Physik: links die
> gesuchten, rechts die gegebenen Größen.
Naja - mit Physik habe ich nicht so viel am Hut!
Bin im Informatikstudium, muß mich mit E-Technik abquälen und versuche möglichst Dinge aus der Mathematik anzuwenden die mir dann das leben vereinfachen!
Versuche dennoch zu verstehen was so vorkommt!
Jedoch kann ich das mit der Gleichsetzung so nicht nachvollziehen!
Da fehlt mir nen Zwischenschritt wieso du dies so aufstellen kannst!
> Du kannst diese
> Knotenpunktgleichung auch in Prosa ausdrücken: Summe aller
> vom Knoten wegfließenden (Teil-)Ströme ist gleich der
> Summe aller zum Knoten hinfließenden (Teil-)Ströme.
Diese Regel kenn ich wohl! Dient ja auch bei den Kirchhofschen Gleichungen um die Knotengleichungen aufzuschreiben!
> Du
> bringst also nicht, wie Du gesagt hast, die
> Spannungsquellen "rechts rüber", sondern die
> (Teil-)Ströme infolge dieser Spannungsquellen. Immerhin
> handelt es sich ja um eine Knotenpunktgleichung, bei der
> Ströme addiert (subtrahiert) werden und keine Spannungen.
>
Dies habe ich in der Matrix ja auch wiedergegeben!
Die gegebenen hatte ich in der 3x3 Matrix, dann kommen die gesuchten - oder unbekannten!
Und hinter dem gleich in der Maschennotation kommt das Endergebniss dieser Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor!
Die Matrix wird nun [mm] MatrixA^{-1}*Ergebnissmatrix [/mm] gerechnet und man erhält die Unbekannten!!
Soweit die Theorie und die Mathematik!
Ich habe jedoch scheinbar einen Fehler im E-Technischen Verständniss mit dem Aufstellen der Gleichung im Bezug auf die Spannungsquelleneinbindung ohne Umwandlung in die Matrix!
Dies war an sich meine Frage: Wie stelle ich die Matrix auf, mit der Spannungsquelle wobei [mm] I_{q1} [/mm] & [mm] I_{q2} [/mm] mit in die Matrix eingebunden werden ?
> Was Dein sog. [mm]I_g[/mm] sein soll, bleibt mir unerfindlich.
I Gesammt!
> Es
> gibt keine einzige physikalische Gesetzmäßigkeit, die bei
> den vorgegebenen Richtungen der beiden Spannnungsquellen
> auf eine solche Gleichung führt, es sei denn Du definierst
>
> [mm]I_g[/mm] = [mm]2\cdot (U_1\cdot G_1[/mm] + [mm]U_2\cdot G_2).[/mm] Aber warum
> sollte man sowas Unsinniges tun?
Hmmm, den letzten Part verstehe ich nicht!
Ich wollte dies wie besagt aufstellen, weil wir in der Vorlesung die Ausstellung so gegeben bekommen haben!
Im Hagmann Buch "Grundlagen der E-Technik" wird die Spannungsquelle in eine Stromquelle umgewandelt - dies wollte ich umgehen und das Verfahren so anwenden!
Um halt meine Matrix zu erhalten! + Spannungsquellenwertigkeiten für die [mm] I_{q's}
[/mm]
Könntest du mir diesbezüglich weiterhelfen ?
Ich verstehe deine [mm] U_{10} [/mm] Gleichung!
Das mit dem "Umstellen" kann ich immer noch nicht ganz nachvollziehen, da ich von Kirchhoffschen Gleichungen ausgehe und diese versuche auf deine Gelichung zu beziehen!
*Vielen Dank für deine Geduld* ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 03.12.2009 | | Autor: | GvC |
Zitat:
"Wollte es mittels der Kirchoffschen - Gleichungen und dem Knotenpotenzialverfahren lösen! Zudem wollte ich die Spannungsquellen nicht in Stromquellen wandeln!"
Hier werden keine Kirchhoffschen Gleichungen, sondern lediglich der Knotenpunktsatz angewendet (das ist der Sinn des Knotenpotentialverfahrens): Summe aller (vorzeichenbehafteten) Ströme ist gleich Null. Die an dem hier betrachteten Knoten fließenden Ströme sind sowohl die von der Knotenspannung [mm] U_{10} [/mm] selbst verursachten Ströme (wegfließend) als auch die von den Spannungsquellen verursachten Ströme (entsprechend der vorgegebenen Richtung der Spannungsquellen zufließend). Die Ströme [mm] U_{10}\cdot (G_1+G_2+G_3) [/mm] müssen also ein anderes Vorzeichen haben als die Ströme [mm] U_1\cdot G_1 [/mm] und [mm] U_2\cdot G_2, [/mm] sofern Du sie auf dieselbe Seite der Gleichung schreibst. Bei Dir hatten sie in der Gleichung [mm] I_g [/mm] = ... aber gleiches Vorzeichen (was immer [mm] I_g [/mm] auch gewesen sein mag, ich kann es jedenfalls nicht nachvollziehen).
Auch ich habe die Spannungsquellen nicht in Stromquellen umgewandelt (nur gedanklich), sondern gleich die von Ihnen verursachten (Teil-)Ströme hingeschrieben (das sind natürlich die Kurzschlussströme der gedanklich umgewandelten Stromquellen). Und dann habe ich die von der Knotenspannug verursachten und die von den Spannungsquellen verursachten Ströme einfach vorzeichenrichtig zusammengezählt und die Knotenpunktgleichung gleich nach (zunächst) unbekannten (links) und bekannten Strömen (rechts) umgestellt.
Was ist daran so schwierig?
Wie Du an Dir selber gemerkt hast, nutzen die schönsten auswendig gelernten oder vom Prof. vorgegebenen mathematischen Vorgehensweisen nichts, solange man ihre physikalische Bedeutung nicht kennt. Die für das Knotenspannungsverfahren angewendete "Mathematik" ist kein Selbstzweck. Sie beschreibt nur die Physik. Solange man die Physik nicht versteht, nutzt einem die ganze Mathematik nichts.
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