Knifflige (?) DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Sorgenkind |
Hallo!
Dies ist meine erste Frage im Matheraum (und generell in einem Matheforum  ) - ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gegeben ist die DGL $y' = [mm] \bruch{x^2-y^2}{xy}$ [/mm] mit Anfangsbedingung $y(1)=0$.
Zunächst habe ich angenommen, dass diese Aufgabe nicht allzu schwer sein kann und munter drauf "losgerechnet", also ersteinmal den Bruch zerlegt in
$y' = [mm] \bruch{x}{y}-\bruch{y}{x}$
[/mm]
und dann mit Hilfe der Substitution $z := [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm] versucht,
die DGL
$z' = [mm] \bruch{1}{x}\left(\bruch{1}{z}-2z\right)$
[/mm]
zu lösen. Als Ergebnis erhalte ich dann nach Resubstitution
[mm] $y(x)=+-\bruch{\wurzel{2x^4\left(e^{4c}\right)+2}}{2x\left(e^{2c}\right)}$. [/mm]
Aber leider kann diese Lösung das Anfangswertproblem nicht lösen.
Liegt das vielleicht an meiner Substitution, oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Viele Grüße,
Steffen
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Steffen!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Als erster Kommentar mal Folgendes:
> Gegeben ist die DGL [mm]y' = \bruch{x^2-y^2}{xy}[/mm] mit
> Anfangsbedingung [mm]y(1)=0[/mm].
> Zunächst habe ich angenommen, dass diese Aufgabe nicht
> allzu schwer sein kann und munter drauf "losgerechnet",
> also ersteinmal den Bruch zerlegt in
> [mm]y' = \bruch{x}{y}-\bruch{y}{x}[/mm]
> und dann mit Hilfe der
> Substitution [mm]z := \bruch{y}{x}[/mm] versucht,
> die DGL
> [mm]z' = \bruch{1}{x}\left(\bruch{1}{z}-2z\right)[/mm]
Verbessert: Stimmt!
Es gilt:
$z' = [mm] \frac{1}{x} \cdot [/mm] y' - [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] y = [mm] \frac{1}{x} (\frac{x}{y} [/mm] - [mm] \frac{y}{x} [/mm] - [mm] \frac{y}{x}) [/mm] = [mm] \frac{1}{x} (\frac{1}{z} [/mm] - 2z)$.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius!
Vielen Dank für deine Antwort. Da DGLs für mich auch relativ neu sind, bin ich mir nicht ganz sicher, aber aus
$z = [mm] \bruch{y}{x} \Leftrightarrow [/mm] y=zx$ folgt doch,
dass $y' = z'x+z$, also
[mm] $z'x+z=\bruch{1}{z}-z \Leftrightarrow z'=\bruch{1}{x}\left(\bruch{1}{z}-2z\right)?$
[/mm]
Viele Grüße,
Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Steffen!
Stimmt, du hast Recht, ich hatte einen ziemlich blöden Flüchtigkeitsfehler gemacht ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") und habe es jetzt verbessert. Dann stimmt die Substitution also. Kannst du mir denn deine genaue Rechnung ab da noch einmal posten, damit ich nach dem Fehler suchen kann?
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius!
Nochmals vielen Dank!
Also, ich habe folgendes angestellt:
Es ist jetzt zu lösen: $z' = [mm] \bruch{1-2z^2}{z} \cdot \bruch{1}{x}$, [/mm] wobei ich $g(z) := [mm] \bruch{1-2z^2}{z}$ [/mm] und $f(x) := [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] definiert habe.
Da es ja ein DGL mit getrennten Variablen ist, muss ich doch nur
[mm] $\int{\bruch{dz}{g(z)}}=\int{f(x)dx} [/mm] + const$ lösen.
Da ich in der vorherigen Rechnung bereits einen Fehler gefunden hab, und jetzt einige Schmierblätter weiter bin, hier mein aktueller Versuch:
[mm] $\int{\bruch{dz}{g(z)}}=\int{\bruch{z}{1-2z^2}dz}=-\bruch{1}{4}ln(2z^2-1)$ [/mm] und
[mm] $\int{f(x)dx}=\int{\bruch{1}{x}dx}=\ln(x)$
[/mm]
und somit die Gleichung
[mm] $-\bruch{1}{4}\ln(2z^2-1)=\ln(x)+c$
[/mm]
und weiter (und wahrscheinlich habe ich hier irgendwo einen Fehler drin)
[mm] $\ln(2z^2-1)=\ln(x^{-4})-4c$
[/mm]
[mm] $2z^2=x^{-4}*\exp{(-4c)}+1$
[/mm]
[mm] $z=\wurzel{\bruch{x^{-4}*\exp{(-4c)}+1}{2}}$.
[/mm]
Es ergibt sich also für $y$:
$y = [mm] x\wurzel{\bruch{x^{-4}*\exp{(-4c)}+1}{2}}$
[/mm]
Leider ist diese Gleichung nicht angenehmer als meiner erste...
Viele Grüße,
Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Steffen!
> Du hast Recht, die Gleichung löst das DGL, aber:
>
> [mm]y = x\wurzel{\bruch{x^{-4}*\exp{(-4c)}+1}{2}}[/mm]
>
> Die Anfangsbedingung [mm]y(1) = 0[/mm] kann doch mit _dieser_ Lösung
> nicht erfüllt werden (es müsste [mm]x^{-4}exp(-4c)+1=0[/mm]
> sein...)
Da hast du recht. Ich habe deinen Fehler aber gefunden.
Du rechnest an einer Stelle
[mm] $\int{\bruch{dz}{g(z)}}=\int{\bruch{z}{1-2z^2}dz}=-\bruch{1}{4}\ln(2z^2-1)$.
[/mm]
Eigentlich heißt es ja:
[mm] $\int{\bruch{dz}{g(z)}}=\int{\bruch{z}{1-2z^2}dz}=-\bruch{1}{4}\ln|2z^2-1|$.
[/mm]
Da du aber die DGL in der Nähe von $z = [mm] \frac{y}{x}=0$ [/mm] löst (die Anfangsbedingung lautet ja: $y(1)=0$), kannst/musst du hier den Betrag anders auflösen, da in der Nähe von $z=0$ gilt: [mm] $2z^2 [/mm] - 1 < 0$. Daher gilt:
[mm] $\int{\bruch{dz}{g(z)}}=\int{\bruch{z}{1-2z^2}dz}=-\bruch{1}{4}\ln(1 [/mm] - [mm] 2z^2)$.
[/mm]
Versuche es jetzt noch einmal...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 29.06.2004 | | Autor: | Sorgenkind |
Hallo Julius!
Jetzt ist mir alles klar! ("da verwandelt sich das +1 doch tatsächlich
in ein -1!" ).
Vielen Dank und schönen Abend,
Steffen
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]"){kind=small}
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
Ich habe die Probe gemacht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
