Kmplx. PBZ- Gleichung zuwenig? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{18x}{(x^{2}+9)(x-3)^2}[/mm]
(a) Bestimmen Sie die komplexe Partialbruchzerlegung zu f(x).
(b) Bestimmen Sie die reele Partialbruchzerlegung zu f(x). (Ersatzergebnis für (c): [mm]\bruch{4}{x-3}+\bruch{x-3}{x^{2}+9}[/mm]
(c) Bestimmen Sie unter Verwendung von (b) eine Stammfunktion zu f(x).
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Hallo,
ein Problem bei der Rechnung mit der Partialbruchzerlegung  Hier erstmal mein bisheriger Ansatz:
Rechnung Anfang
[mm]f(x)=\bruch{18x}{(x^{2}+9)(x-3)^2}[/mm]
// Bestimmen der Nullstellen, reell und komplex
[mm]
(x-3)^{2}=0[/mm]
[mm]x_{1/2}=3 (Doppelt)[/mm]
[mm]x^{2}+9=0[/mm]
[mm]x_{3/4}=0\pm3j[/mm]
// PBZ Ansatz
[mm]\bruch{18x}{(x^{2}+9)(x-3)^2}=\bruch{A_{1}}{(x-3)}+\bruch{A_{2}}{(x-3)^{2}}+ \bruch{Bx+C}{(x^2+9)}=\bruch{18x}{(x^2+9)(x-3)^2}[/mm]
[mm]A_{1}(x^{2}+9)(x-3)+A_{2}(x^{2}+9)+(Bx+C)(x-3)^{2}=18x[/mm]
// Bestimmen der Konstanten [mm] A_{1},A_{2},B [/mm] und C
// x=0
[mm]-27A_{1}+9A_{2}+9C=0[/mm]
// x= 3
[mm]18A_{2}=54[/mm] => [mm]A_{2}=3[/mm]
// x=3j
[mm](Bx+C)(x-3)^{2}=18x[/mm]
[mm](Bx+C)(x^2-6x+9)=18x[/mm]
[mm](3j*B+C)(18j)=56*j[/mm]
[mm]j*B+18j*C=56*j[/mm]
// Durch j teilen
[mm]3*B+18*C=56[/mm]
Rechnung Ende
Ich verstehe nicht, wie ich hier weiter machen soll - Da fehlt doch eine Gleichung? 4 Variablen = 4 Gleichungen für eine eindeutige Lösung oder?
Zu (2): Wie bestimme ich denn die reele PBZ zu der Funktion? Schließlich lässt sich [mm](x^{2}+9)=0[/mm] ja nur komplex lösen. Oder vernachlässige ich das dann komplett?
Fragen über Fragen, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Lieben Gruß,
Dirk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 19.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Vielleicht hilft dir folgendes weiter:
[mm] \bruch{18x}{(x-3)^2*(x^2+9)}=\bruch{3}{(x-3)^2}-\bruch{3}{x^2+9}
[/mm]
jetzt ist es einfacher deinen Ansatz auf beide rechten Brüche anzuwenden....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 19.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo wauwau,
danke für den Lösungshinweis. Leider hilft er mir nicht weiter, da ich nicht wirklich verstehe, wie du den Bruch so zerlegt hast.
Und ich weiß noch nicht, wie ich jetzt nur die reele PBZ zu dieser Gleichung bestimme.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 19.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Dein PBZ Ansatz ist ja richtig.
Wenn du ihn dann richti löst (macht man durch Koeffizientenvergleich der Polynome auf beiden Seiten) dann kommst du eben auf
[mm] A_1=0
[/mm]
[mm] A_2=3
[/mm]
B=0
C=-3
zu meiner part. Bruch zerlegung (die dann, wenn man die Ableitung des arctan(x/3) kennt trivial zu integrieren ist.
Dann brauchst du nur mehr [mm] \bruch{3}{x^2+9} [/mm] komplex partialbruch zerlegen
was dann
[mm] \bruch{3}{x^2+9}= \bruch{i}{2}(\bruch{1}{x+3i}-\bruch{1}{x-3i}) [/mm] ergibt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Di 19.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo wauwau,
danke für die weiteren Hinweise. Aber ich komme immernoch nicht weiter. Ich möchte gerne meine Gleichung oben mit dem Koeffizientenvergleich lösen, weiß aber nicht wie das geht. Das Zerlegen der Gleichung ist sicherlich sehr praktisch, aber da wäre ich ehrlich gesagt nie darauf gekommen, zumal ich in Mathe (noch) keine Leuchte bin.
Gibt es eine gute Seite, auf der das erklärt wird oder kannst du es mir bitte vorrechnen? Ich habe schon bei Wikipedia, auf diversen Webseiten danach gesucht, aber entweder werden dort die Koeffizienten durch Einsetzen der Nullstellen bestimmt (wie bei mir) oder der Typ weicht stark ab (nicht komplex etc.).
Wie mache ich das denn dann bei Teilaufgabe 2, wenn ich "nur" die reele PBZ bestimmen soll, also mit dem ganzen Bruch?
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mi 20.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Dirk
Ich glaub, du hast nicht verstanden, was man beim Koeffizientenvergleich tut: rechts steht [mm] 18x=0*x^3+0*x^2+18x+0
[/mm]
ein Polynom mit den Koeffizienten 0 ,0, 18, 0
links steht auch ein Polynom, das du genauso ordnen musst. es fängt an mit [mm] A*x^3+ (.2.Ausdr.)x^2+ [/mm] (.3.Ad.)x +(.4.Ad..)
Koeffizientenvergleich heisst jetzt die Koeff. der einzelnen Potenzen von x zu vergleichen.
also A1=0; 2.Ausdruck=0 3.Ausdruck=18 4.Ausdruck=0
das gibt 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten A,B,C,D.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Dirk,
eine weitere Möglichkeit neben dem Koeffizientenvergleich wäre, zur Bestimmung der Konstanten [mm] A_{1}, A_{2}, [/mm] B, C einfach 4 beliebige Zahlen für x in die Gleichung einzusetzen, praktischerweise möglichst klein und es sollten alle reellen Nullstellen dabei sein; hier also z.B. x=0 ; x=1 ; x=2 ; x=3. So erhält man auch vier verschiedene Gleichungen.
Beim Einsetzen deiner komplexen Nullstelle x = 3j hattest Du dich verrechnet.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart, hallo Martinius,
danke für die Hilfe. Also ich hatte versucht, die Konstanten über das Einsetzen der Nullstellen herauszufinden, wie Martinius es gesagt hat. Dabei wusste ich nicht, dass ich hier auch willkürliche Zahlen für x einsetzen darf. Aber eigentlich ist es ja klar, weil ja auf beiden Seiten der Gleichung dann das selbe steht. Nunja, wieder schlauer.
Ich habe es jetzt mit dem Koeffizientenvergleich gemacht, wie leduart vorgeschlagen hat und nachdem ich das ganze ausmultipliziert habe und nach x-Termen geordnet habe die Koeffizienten herausgebracht. (Den Term nach bei den jeweiligen x gleich 0 (für [mm] x^3, x^2 [/mm] und 1) und gleich 18 setzen (für x) und dann die 4 Gleichungen auflösen.
Auch auf die Gefahr hin, die Frage zum 4ten mal zu stellen, was ist bzw. wie bestimme ich jetzt lediglich die reele Partialbruchzerlegung, wie es in der Aufgabenstellung 2) gefordert wird?
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 20.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die reelle hast du grade ausgerechnet!
es fehlt die Komplexe:
also mit den Nennern x+3i und x-3i. da kannst du auch nur den Ausdruck mit Nenner [mm] x^2+9 [/mm] noch zerlegen, den Rest hast du ja schon.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
das heißt, ich mache dann quasi einfach anstatt des komplexen Ansatzes zwei weitere Ansätze für einfache Nullstellen [mm]\bruch{A_{3}}{x+3i}[/mm] und [mm]\bruch{A_{3}}{x-3i}[/mm] und berechne wieder die Variablen. Glaube, jetzt habe ich auch das verstanden ;)
Lieben Gruß,
Dirk
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