Kleinstes Element < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie: Jede nicht-leere Teilmenge B [mm] \subseteq \IN [/mm] natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element. |
Hallo,
also laut eines Kommilitonen hätte das etwas mit dem "archimedischen Axiom" zu tun. Diese Axiom hat mir allerdings nicht viel geholfen.
Ich habe mir etwas anderes überlegt:
1. Fall: 1 [mm] \in [/mm] B
Da 1 das kleinste Element in [mm] \IN [/mm] ist, muss es auch das kleinste Element in B sein, da B [mm] \subseteq \IN.
[/mm]
2.Fall: 1 [mm] \not\in [/mm] B
A:={a | a [mm] \le [/mm] b, a,b [mm] \in [/mm] B}. Das kleinste Element m [mm] \in [/mm] B für das gilt: m>1 ist das kleineste Element der Menge B.
Stimmt das so? Wenn ja, kann ich nicht einfach schreiben: inf(B) ist kleinstes Element in B?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mi 24.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie: Jede nicht-leere Teilmenge B [mm]\subseteq \IN[/mm]
> natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
>
> also laut eines Kommilitonen hätte das etwas mit dem
> "archimedischen Axiom" zu tun. Diese Axiom hat mir
> allerdings nicht viel geholfen.
>
> Ich habe mir etwas anderes überlegt:
>
> 1. Fall: 1 [mm]\in[/mm] B
> Da 1 das kleinste Element in [mm]\IN[/mm] ist, muss es auch das
> kleinste Element in B sein, da B [mm]\subseteq \IN.[/mm]
>
> 2.Fall: 1 [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B
> A:={a | a [mm]\le[/mm] b, a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}. Das kleinste Element m [mm]\in[/mm] B
> für das gilt: m>1 ist das kleineste Element der Menge B.
Damit hast du nicht gezeigt, dass es ein kleinstes Element gibt.
> Stimmt das so? Wenn ja, kann ich nicht einfach schreiben:
> inf(B) ist kleinstes Element in B?
Mit dem Infimum zu arbeiten ist ein guter Ansatz (je nach Vorlesung).
Die Menge $B$ ist offensichtlich nach untenbeschraenkt, also existiert das Infimum. Du musst jetzt zeigen: [mm] $\inf(B) \in [/mm] B$.
Dazu kannst du z.B. benutzen, dass die natuerlichen Zahlen diskret in [mm] $\IR$ [/mm] sind, es also zu jeder natuerlichen Zahl eine Umgebung gibt, in der nur diese Zahl liegt und sonst keine natuerliche Zahl.
Alternativ kannst du auch so vorgehen. Da $B$ nicht leer ist gibt es ein $m [mm] \in [/mm] B$. Jetzt kann es hoechstens $m - 1$ Elemente in $B$ geben, die kleiner sind: $1, 2, [mm] \dots, [/mm] m - 1$.
Setze $B' := B [mm] \cap \{ 1, \dots, m \}$. [/mm] Diese Menge umfasst hoechstens $m$ Elemente, und ein Minimum von $B'$ ist auch eins von $B$ (warum?).
Es reicht also, etwa per Induktion zu zeigen: eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] mit genau $n$ Elementen hat ein Minimum.
Jetzt musst du das nur noch alles in eine gute Reihenfolge bringen und schoen aufschreiben.
LG Felix
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Hallo felixf,
ich denke ich werde deinen Alternativvorschlag benutzen, da ich zwar von "Umgebung" schonmal etwas gehört habe, wir das aber in der Vorlesung noch nicht benutzt haben.
Ciao
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