Kleinste Abstände bestimmen < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | a * ((x - [mm] x1)^2 [/mm] + (y - [mm] y1)^2) [/mm] = b * ((x - [mm] x2)^2 [/mm] + (y - [mm] y2)^2) [/mm] |
Ich habe ein sehr verzwicktes Problem:
Ich habe n Gleichungen wie oben beschrieben gegeben. Diese drücken eine Verhältnisfunktion zwischen zwei Raumpunkten aus. Die Koordinaten dieser Raumpunkte sind bekannt. Die Punkte auf der Oberfläche dieses Körpers, den diese Gleichung bildet sind somit jene Punkte, die zu den beiden Punkten betrachtet, das gleiche Verhältnis besitzen. Mit Verhältnis ist hierbei der Abstandsquotient zu beiden Punkten gemeint. Beispiel:
Gesuchter Punkt: X ist 2 von P1 und 3 von P2 entfernt, dann ist das Verhältnis 1:1,5 und die Oberfläche des Körpers, der dabei um P1 entsteht, beinhaltet alle Punkte, die eben genau im gleichen Verhältnis (nicht absoluter Abstand!) zu den beiden Punkten stehen. Dieser Körper hat eine besondere Ausprägung beim Verhältnis 1:1. Dabei handelt es sich um die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Punkten. Das aber nur am Rande...
Nun zum Problem: Von dieser Art gelagerter Körper habe ich nun N viele. Mein Ziel ist es, ein globales Minimun der summierten Abstände zu all diesen Körperoberflächen zu finden.
Der minimalste mögliche Abstand wäre ein Schnittpunkte aller dieser Körper an einem Punkt. Dies ist jedoch auf keinen Fall die Regel, sondern die Körper nähern sich in meinem Anwendungsfall nur an.
Betrachtet man zwei dieser Körper, wäre der Punkt, der in der Mitte der Sichtlinie zwischen den Punkten der beiden Körper, die am nahesten zusammen liegen, mein gesuchter Punkt.
Soweit ich das sehe, ist das ein nichtlineares Optimierungsproblem bei dem es gillt ein Minimum zu finden. Ich habe bereits ausführlich mit Mathematikern über dieses Problem debatiert, doch beschränken sich gängige Lösungsansätze in der nichtlinearen Optimierungstheorie mit einzelnen Kurven, die innerhalb eines fest definierten Bereichs (Nebenbedingung) minimiert werden. Ein solcher Bereich kann auch in meinem Problem angenommen werden, doch ist er normalerweise nicht nötig, da die Körper nur in dem einzigen Spezialfall (der Mittelsenkrechten beim Verhältnis 1:1) sich ins unendliche erstrecken. Dieser Spezialfall kann ignoriert werden, wenn es hilft.
Wenn etwas unklar formuliert worden sein sollte, bitte melden 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a * ((x - [mm]x1)^2[/mm] + (y - [mm]y1)^2)[/mm] = b * ((x - [mm]x2)^2[/mm] + (y -
> [mm]y2)^2)[/mm]
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> Ich habe ein sehr verzwicktes Problem:
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> Ich habe n Gleichungen wie oben beschrieben gegeben. Diese
> drücken eine Verhältnisfunktion zwischen zwei Raumpunkten
> aus. Die Koordinaten dieser Raumpunkte sind bekannt. Die
> Punkte auf der Oberfläche dieses Körpers, den diese
> Gleichung bildet sind somit jene Punkte, die zu den beiden
> Punkten betrachtet, das gleiche Verhältnis besitzen. Mit
> Verhältnis ist hierbei der Abstandsquotient zu beiden
> Punkten gemeint. Beispiel:
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> Gesuchter Punkt: X ist 2 von P1 und 3 von P2 entfernt, dann
> ist das Verhältnis 1:1,5 und die Oberfläche des Körpers,
> der dabei um P1 entsteht, beinhaltet alle Punkte, die eben
> genau im gleichen Verhältnis (nicht absoluter Abstand!) zu
> den beiden Punkten stehen. Dieser Körper hat eine
> besondere Ausprägung beim Verhältnis 1:1. Dabei handelt
> es sich um die Mittelsenkrechte zwischen den beiden
> Punkten. Das aber nur am Rande...
>
> Nun zum Problem: Von dieser Art gelagerter Körper habe ich
> nun N viele. Mein Ziel ist es, ein globales Minimun der
> summierten Abstände zu all diesen Körperoberflächen zu
> finden.
> Der minimalste mögliche Abstand wäre ein Schnittpunkte
> aller dieser Körper an einem Punkt. Dies ist jedoch auf
> keinen Fall die Regel, sondern die Körper nähern sich in
> meinem Anwendungsfall nur an.
> Betrachtet man zwei dieser Körper, wäre der Punkt, der
> in der Mitte der Sichtlinie zwischen den Punkten der beiden
> Körper, die am nahesten zusammen liegen, mein gesuchter
> Punkt.
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> Soweit ich das sehe, ist das ein nichtlineares
> Optimierungsproblem bei dem es gillt ein Minimum zu finden.
> Ich habe bereits ausführlich mit Mathematikern über
> dieses Problem debatiert, doch beschränken sich gängige
> Lösungsansätze in der nichtlinearen Optimierungstheorie
> mit einzelnen Kurven, die innerhalb eines fest definierten
> Bereichs (Nebenbedingung) minimiert werden. Ein solcher
> Bereich kann auch in meinem Problem angenommen werden, doch
> ist er normalerweise nicht nötig, da die Körper nur in
> dem einzigen Spezialfall (der Mittelsenkrechten beim
> Verhältnis 1:1) sich ins unendliche erstrecken. Dieser
> Spezialfall kann ignoriert werden, wenn es hilft.
>
> Wenn etwas unklar formuliert worden sein sollte, bitte
> melden
Hallo FreierRadikaler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe da schon einige Fragen:
1.) Spielt sich alles in der Ebene (also in [mm] \IR^2) [/mm] ab ?
In diesem Fall solltest du mal das Stichwort "Apolloniuskreis" googeln.
Die Punkte P in der Ebene, welche von zwei festen Punkten [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2
[/mm]
ein vorgegebenes Abstandsverhältnis [mm] d_1:d_2=q\not=0 [/mm] haben, bilden einen Kreis
(welcher im Fall des Verhältnisses 1:1 zu einer Geraden ausartet).
2.) Wenn du gleichzeitig N Gleichungen der gegebenen Art (mit
diversen Punktepaaren und Abstandsverhältnissen) erfüllen willst,
müsstest du also die Schnittmenge von N Kreisen in der Ebene
bestimmen (welche in den meisten Fällen schlicht leer bleiben
wird ...).
3.) Mir ist nicht klar, inwiefern du nun ein Gleichungssystem
oder ein Extremalproblem lösen willst. Oder geht es gar um
eine Kombination von Gleichungssystem und Extremalproblem ?
LG
Al-Chwarizmi
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Das ganze spielt sich in [mm] \IR³ [/mm] ab wobei ein gangbarer Weg in [mm] \IR² [/mm] schonmal ein Anfang wäre. Die Gleichung aus meinem Vorposting müsste dann entsprechend noch um (z - z1)² etc. erweitert werden.
Zu 1.: Krass da könntest du Recht haben. Ich bin immer von so einem komischen Gebilde ausgegangen, weil es so schwer zu zeichnen war. Aber ich glaube das könnte es sein.
Zu 2.: Unter der Kreisannahme wäre der gesuchte Punkt von mir der Mittelpunkt zwischen den inneren Schnittpunkten der Geraden, die den Mittelpunkt der beiden Kreise verbindet.
Zu 3.: Ich würde sagen es handelt sich um beides. Ich habe Kreisgleichungen und will denjenigen Punkt finden, der zur Oberfläche aller gegebenen Kreise die niedrigste Abstandssumme aufweist.
Ich habe die Vermutung, dass sich dies mit folgenden 6 Schnitt bestimmen lässt:
Schritt 1: Geraden durch alle Kreismittelpunkte berechnen.
Schritt 2: Schnittpunkte dieser Geraden mit den beiden Kreisen berechnen, durch deren Mittelpunkt die Gerade gelegt wurde.
Schnitt 3: Von den so errechneten Punkten diejedigen wählen, bei denen der eine Schnittpunkt Schnittpunkt mit dem einen Kreis, der andere Schnittpunkt mit dem anderen Kreis ist und bei denen beide Punkte am nächsten sind. Auf dieser Strecke die Mittelsenkrechte bilden.
Schritt 4: Schritt 3 für alle Kreispaare wiederholen.
Schritt 5: Schnittpunkte der so berechneten Mittelsenkrechten bilden.
Schritt 6: Schwerpunkt der Schnittpunkte der Mittelsenkrechten bestimmen. Dieser Schwerpunkt ist der gesuchte Punkt.
Könnte man das im [mm] \IR² [/mm] so machen?
Eine weitere Frage: Ist das im [mm] \IR³ [/mm] eine Kugel?
Edit: Ne obiger 6 Schritt Ansatz taugt nichts. Aber wie bekommt man das dann minimiert?
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Nur eine Bemerkung:
wenn wir das Ganze im [mm] \IR^3 [/mm] statt im [mm] \IR^2 [/mm] betrachten,
haben wir anstatt Kreise dann einfach Kugelflächen
("Apolloniuskugeln"). Das sieht man leicht, wenn man
die Rotationssymmetrie bezüglich der Geraden durch
die gegebenen Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] (bzw. durch [mm] P_i [/mm] und [mm] P_j)
[/mm]
bedenkt.
Im Übrigen muss ich versuchen, mir doch noch klarer
zu machen, was du wohl genau willst.
Kommt die Aufgabe aus einer Anwendung ? Falls ja,
wäre es bestimmtr sehr nützlich, wenn du das Drum
und Dran erläutern würdest !
LG, Al-Chw.
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Ja du hast Recht, es handelt sich um einen konkreten Anwendungsfall, der wie folgt gelagert ist:
Ziel ist die Ortung von Funkstationen anhand ihres RSSI-Wertes (Radio Signal Strength Indication [dBm]) innerhalb eines unregelmäßig verteilten Feldes von Empfangsstationen (Sensornetzwerk). Da die einzelnen Funkstationen die geortet werden sollen mit unterschiedlicher Sendeleistung senden, kann nicht einfach 1:1 von der Signalfeldstärke (quadratisch) auf die Entferung zu einer Empfangsstation geschlossen werden, sondern es kann immer nur der Quotient der Feldstärke wie sie von zwei Empfängern empfangen wurde, zur Ortsbestimmung herangezogen werden.
Den Punkt den ich Suche stellt somit den Punkt dar, an dem sich der Sender am wahrscheinlichsten aufhält. Dieser ist so definiert, dass dort die Summe der Quadrate der Einzelabweichung zu allen dieser Apolloniuskreisen global betrachtet am geringsten ist.
Ich habe mittlerweile einen neuen Ansatz gefunden, der dem oben ähnelt. Dazu folgende Grundüberlegung:
Ich breche das Problem in mehrere Teilprobleme auf. Ein Teilproblem stellt die Ermittlung des wahrschienlichsten Aufenthaltspunkt des Senders dar, wenn nur zwei Apolloniuskreise betrachtet werden. Dies ist direkt mit hinsehen zu erkennen: Nämlich handelt es sich um jenen Punkt, der in der Mitte der Kreisrandflächen liegt.
Bestimme ich nun alle diese Punkte zu allen n Kreisen, die durch Messungen bestimmt werden konnten, und bilde von dieser Punktmenge den Mittelwert aka Schwerpunkt, erhalte ich global betrachtet den Punkt mit der kleinsten Abweichungssumme der Verhältnisquadrate zu den Standorten der Empfangsstationen.
Ich bin jetzt einige Fälle so durchgegangen und konnte diese Theorie bisher weder falsifizieren noch bestätigen. Vielleicht kennt da jemand einen mathematischen Beweis!?
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> Das ganze spielt sich in [mm]\IR³[/mm] ab wobei ein gangbarer Weg
> in [mm]\IR²[/mm] schonmal ein Anfang wäre. Die Gleichung aus
> meinem Vorposting müsste dann entsprechend noch um (z -
> z1)² etc. erweitert werden.
> Zu 3.: Ich würde sagen es handelt sich um beides. Ich habe
> Kreisgleichungen und will denjenigen Punkt finden, der zur
> Oberfläche aller gegebenen Kreise die niedrigste
> Abstandssumme aufweist.
(Oberfläche von Kreisen ... ?)
> Ich habe die Vermutung, dass sich dies mit folgenden 6
> Schritten bestimmen lässt:
>
> Schritt 1: Geraden durch alle Kreismittelpunkte berechnen.
> Schritt 2: Schnittpunkte dieser Geraden mit den beiden
> Kreisen berechnen, durch deren Mittelpunkt die Gerade
> gelegt wurde.
> Schnitt 3: Von den so errechneten Punkten diejedigen
> wählen, bei denen der eine Schnittpunkt Schnittpunkt mit
> dem einen Kreis, der andere Schnittpunkt mit dem anderen
> Kreis ist und bei denen beide Punkte am nächsten sind. Auf
> dieser Strecke die Mittelsenkrechte bilden.
> Schritt 4: Schritt 3 für alle Kreispaare wiederholen.
> Schritt 5: Schnittpunkte der so berechneten
> Mittelsenkrechten bilden.
> Schritt 6: Schwerpunkt der Schnittpunkte der
> Mittelsenkrechten bestimmen. Dieser Schwerpunkt ist der
> gesuchte Punkt.
>
> Könnte man das im [mm]\IR²[/mm] so machen?
Könnte sein, dass du auf diesem Weg eine mehr oder
weniger gute Näherung erreichen kannst - aber ohne
jegliche Garantie auf Erfolg ...
> Eine weitere Frage: Ist das im [mm]\IR³[/mm] eine Kugel?
Ja.
> Edit: Ne obiger 6 Schritt Ansatz taugt nichts. Aber wie
> bekommt man das dann minimiert?
Hallo FR,
das Ganze scheint mir auf ein etwas kompliziertes Problem
der Ausgleichsrechnung hinauszulaufen, bei dem man ver-
suchen kann, die "Methode der kleinsten Quadrate" zum
Einsatz zu bringen. Es könnte aber auch sein, dass am Ende
ein numerischer Lösungsweg effizienter ist.
Ich versuche mal eine einigermaßen konkrete Interpretation:
Wir haben n feste, gegebene Senderstationen [mm] P_i(x_i|y_i) [/mm] in der Ebene.
Ein Empfangsgerät befindet sich an einer zu bestimmenden
Stelle P(x|y). Es empfängt Signale von allen n Sendern
und kann aus deren relativen Signalstärken und aus den
bekannten Sender-Intensitäten auf Näherungswerte für deren
relative Entfernungen (bzw. zunächst deren Quadrate) schließen.
Sei [mm] d_i [/mm] die Distanz zwischen P und [mm] P_i [/mm] , also
$\ [mm] d_i:=\ \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$
[/mm]
Aus den Empfangsdaten des Empfängers im Punkt P(x|y) kann
man die Werte der Quotienten $\ [mm] q_{ij}=\frac{d_i}{d_j}$ [/mm] bzw.
auf deren Quadrate [mm] (q_{ij})^2 [/mm] schließen.
Insgesamt kann man (wenn man alle Senderpaare betrachtet)
bis zu [mm] $\pmat{n\\2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{n*(n-1)}{2}$ [/mm] Quotienten berücksichtigen.
Da aber Messprobleme und Ungenauigkeiten unvermeidlich sind,
wird man kein exaktes Resultat erwarten können, sondern nur
eine mehr oder weniger passende Ausgleichslösung.
Als eigentlich gesuchte Werte haben wir nur die zwei gesuchten
Koordinaten x und y des Punktes P.
Als exakt vorgegegeben dürfen wir annehmen: alle Koordinaten
[mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] sowie die Senderintensitäten [mm] I_i [/mm] . Dazu kommen die
gemessenen (und berechneten) Quotienten [mm] q_{ij} [/mm] bzw. deren Quadrate
$\ [mm] q_{ij}^2=:Q_{ij}$
[/mm]
Hier kommt nun ein ganz wesentlicher Punkt herein, der ganz
wichtig ist: Damit die folgende Ausgleichsrechnung wirklich Sinn
macht, muss man sich klar machen, welche dieser Quotienten
man wirklich als "Eingangs-Messwerte" betrachten soll. Da ja
effektiv nur Intensitäten gemessen und verglichen werden,
macht es wohl auch Sinn, nur solche (also die Quadrate) als
Messwerte zu nehmen.
Die zu minimierende Summe wäre dann:
[mm] $\summe_{i,j} \left(\left(\frac{d_i}{d_j}\right)^2-Q_{ij}\right)^2$
[/mm]
[mm] (d_i [/mm] und [mm] d_j [/mm] durch x, y, [mm] x_i, x_j, y_i,y_j [/mm] ausdrücken; [mm] Q_{ij} [/mm] aus
den gemessenen Werten).
Ich stelle mir aber vor, dass der jetzt anstehende rechnerische
Weg ziemlich steinig werden könnte ...
LG , Al-Chwarizmi
(Zur Vermeidung von Missverständnissen wäre es wohl noch
angezeigt, in der Schreibweise zwischen den "echten" Werten
der [mm] q_{ij} [/mm] und [mm] Q_{ij} [/mm] bzw. den dafür via Messungen ermittelten
Näherungswerten [mm] \tilde{q_{ij}} [/mm] und [mm] \tilde{Q_{ij}} [/mm] zu unterscheiden)
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Guten Tag !
Ich habe mir das Ganze nochmals überlegt und bin dabei
auf eine weiteres Thema gestoßen, das man berücksichtigen
sollte.
Angenommen, wir hätten 3 Sender in den Punkten A, B, C:
A(3|0) Sender-Intensität [mm] I_A [/mm] = 9
B(0|2) Sender-Intensität [mm] I_B [/mm] = 4
C(0|-1) Sender-Intensität [mm] I_C [/mm] = 1
Für den Punkt P(0|0) müssten die 3 Sender nun alle
genau gleich stark empfangen werden (quadratisches
Abstandsgesetz; Strahlungsausbreitung im [mm] \IR^3).
[/mm]
Was der Empfänger in P(x|y) messen kann, sind die
bei ihm eintretenden Empfangsintensitäten, die ich
einmal mit [mm] i_A, i_B, i_C [/mm] bezeichne. Nach deiner Vorgabe
werden sogar nicht einmal diese Intensitäten, sondern
nur deren Verhältnisse betrachtet.
Um dies physikalisch und theoretisch (für die Ausgleichs-
rechnung) sinnvoll zu machen, sollte man dann aber
nicht mal diese Verhältnisse, sondern ihre Logarithmen
verwenden. Der Grund liegt in Folgendem: Für die Aus-
gleichungsrechnung ist in bestimmter Weise Linearität
vorauszusetzen. Diese ist für die drei Verhältnisse
[mm] \frac{i_A}{i_B} [/mm] , [mm] \frac{i_B}{i_C} [/mm] , [mm] \frac{i_C}{i_A} [/mm] jedoch nicht gegeben, aber wohl für deren
Logarithmen.
Werden also im skizzierten Beispiel die Logarithmen
$\ [mm] L_{ij}:=\ ln(i_i/i_j)$ [/mm] durch Messung und Rechnung bestimmt,
so käme man für die Ausgleichsrechnung zur zu minimierenden
Quadratsumme:
$\ S(x,y)\ =\ [mm] \summe_{i,j}\left(ln(I_i/I_j)+ln\left(\frac{d_j^2}{d_i^2}\right)-L_{ij}\right)^2$
[/mm]
Nun müsste man darin die Distanzquadrate [mm] d_i^2 [/mm] und [mm] d_j^2
[/mm]
mittels x und y ausdrücken und dann die partiellen Ableitungen
[mm] $\frac{\partial S(x,y)}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial S(x,y)}{\partial y}$ [/mm] gleich Null setzen.
Ungefähr an dieser Stelle habe ich dann aufgehört. Wie
schon gesagt, bekommt man es mit einem eher
sperrigen Gleichungssystem zu tun. Vielleicht ist
es aber mit Computereinsatz dann doch gar nicht
sooo schlimm.
Ich kann mir aber vorstellen, dass z.B. eine Trial-
and Error-Methode (also ganz ohne Ausgleichsrechnung)
für dieses Problem praktisch sinnvoller wäre.
LG
Al-Chwarizmi
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Mit den Logarithmen hast du Recht. Aber das habe ich bereits mit den Verhältnissen berücksichtigt. Ich rechne die RSSI-Werte in absolute Leistungswerte um und erzeuge aus diesen dann den Verhältnisquotienten. Außerdem hast du das Problem umgedreht indem du die Rolle der Sender und Empfänger vertauschst. Ich habe nicht x Sendemasten mit unteschiedlicher Sendestärke und verusuche einem Client beizubringen sich selbst zu orten, sondern ich habe EINEN Sender (CLIENT!) und n Emfangsstationen! Wie du bei deiner Rechnungs auf Distanzquadrate kommt ist mir auch schleierhaft. Ich habe nur Verhältnisse.
Ich verusche aus Sicht des Netzes der Empfangsstationen zu bestimmen, wo ein gewisser Sender steht. Der Sender hat zu sich selbst immer die gleiche Signalstärke. Andere Sender können andere Signalpegel haben, aber dies verändert den Strahlungsleistungsquotienten der an zwei gleichen Empfängern bei unterschiedlicher Sendeleistung des Senders (der immer nur an EINEM Raumpunkt gleichzeitg sein kann) gemessen wird nicht.
Dies berechne ich, indem ich die dBm Formel umstelle:
RSSI kann ich messen:
RSSI = 10 * Log10 ( Isotrope Strahlungssleistung / 1mW)
Daraus folgt:
Isotrope Strahlungsleistung = 10^([RSSI in dBm]/10)
Quotient = [Isotrope Strahlungsleister gemessen an Station A] / [Isotrope Strahlungsleister gemessen an Station B]
Dieser Quotient müsste unabhängig von der Sendeleistung des Senders (immer noch ein einzelner!) sein.
Danach habe ich nur noch die Verhältniskörper Kugel (Verhältnis != 1:1) und Ebene (Verhältnis = 1:1).
Mein Ansatz den globalen Punkt auszurechnen, an dem die quadratischen Abstände zu diesen Verhältniskörpern am kleinsten sind ist folgender:
Ich nehme mir aus dieser Menge von Kugeln und Ebenen (abhängig von der Sendemastenanzahl: (n über 2)) immer zwei dieser Figuren heraus und vereinfache diese. So wird aus Sphere und Sphere beispielsweise ein Schnittkreis. Aus Ebene und Sphere ein einzelner Punkt der zu beiden am nächsten ist oder ebenfalls ein Schnittkreis wenn sie sich echt schneiden (Möglichkeiten nicht abschließend aufgezählt). Geht man nun alle Kombinationen durch, kommt man auf eine Körpermenge von sechs verschiednen Körpern, die bei diesem Verfahren entstehen können:
1. Kugel (entsteht durch RSSI-Verhältnis != 1:1)
2. Kreis (entsteht durch Schnitt zweier Kugeln)
3. Ebene (entsteht durch RSSI-Verhältnis 1:1 oder 2er paralleler Ebenen)
4. Gerade (entsteht durch echten Schnitt zweier Ebenen)
5. Doppel Punkt (entsteht durch Schnitt von Kreis mit Sphere)
6. Einfacher Punt (entsteht durch Schnitt von Gerade und Ebene)
Die Aufzählung der Möglichkeiten wie es zu diesen Körpern kommt ist nicht abschließend.
Letzten endes wollte ich Methoden für alle Kombinationen aus diesen sechsen (21 Stück) schreiben, die jede für sich das Minimierungsproblem für genau zwei dieser Körper löst.
Diese Methoden werden auf die Verhältnismenge vom Anfang (alle Körper mit allen anderen Körpern) mehrfach angewendet. Tut man dies, entstehen mit jedem Iterationsschritt mehr neue Körper als im Schritt davor, doch konvergieren diese Körper immer gegen den einfachen Punkt sobald alle Kreise und Kugeln aufgelößt wurden, da im Spezialfall Kreis mit einfachem Punkt bei dem der Punkt der Mittelpunkt des Kreises sein muss, ein neuer Kreis mit Radius/2 entsteht; analog bei der Kugel.
Der Durchschnitt dieser nun entstandenen Punktemenge müsste, da zwischen den Teilproblemem immer die geringsten Abstände berechnet wurden, der gesuchte Punkt sein an dem auch global betrachtet alle quadratischen Abstände am kleinsten sind.
Mit dem Ansatz habe ich versucht, das Prinzip teile und herrsche umzusetzen um so die Komplexität zu reduzieren. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob
1. Das Teil in jedem Fall Richtung Punkt konvergiert
2. Was eine geeignetes Abbruchkriterium wäre, wenn es nicht konvergiert.
Unter Umständen könnte man eine gewisse Ungenauigkeit in Kauf nehmen indem man zb nach 10 Iterationsschritten verbleibende nicht einfach Punkte (Spheren, Kreise, Ebenen etc.) ignoriert und nur die einzelnen Punkte betrachtet. Da diese mit hoher Wahrscheinlichkeit >95% der Ergebnismenge ausmachen sollten die restlichen nicht sonderlich ins Gewicht Fallen. Ist zwar unschön würde das Problem aber reduzieren...
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> Mit den Logarithmen hast du Recht. Aber das habe ich
> bereits mit den Verhältnissen berücksichtigt. Ich rechne
> die RSSI-Werte in absolute Leistungswerte um und erzeuge
> aus diesen dann den Verhältnisquotienten. Außerdem hast
> du das Problem umgedreht indem du die Rolle der Sender und
> Empfänger vertauschst.
Ich glaube nicht, dass dies einen für die Rechnung
wesentlichen Unterschied ergibt.
> Wie du bei deiner
> Rechnungs auf Distanzquadrate kommt ist mir auch
> schleierhaft. Ich habe nur Verhältnisse.
Die Überlegung dahinter ist die, dass die bei einem
Empfänger ankommende Leistung umgekehrt propor-
tional zum Quadrat der Distanz Sender-Empfänger ist.
Und die wirklich gemessenen Größen sind eben diese
Leistungen - und nicht die Distanzen. Meine Idee
stützt sich darauf, dass bei einer Gaußschen Ausgleichs-
rechnung auf die effektiv (mit einem gewissen Messfehler
behafteten) gemessenen Größen abgestellt werden muss,
wenn die Ausgleichsrechnung überhaupt Sinn machen soll.
Du betrachtest Verhältnisse - OK - aber ich meine trotzdem,
dass du die Verhältnisse der Intensitäten (und nicht die
der Distanzen bzw. deren reziproke Werte) betrachten
solltest.
LG , Al-Chw.
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