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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 31.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | | Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 5 Noten von 1 bis 5 so auf n viele Studenten zu verteilen, dass mindestens die Hälfte der Studenten eine 5 erhält? |
Also, wenn man die Bedinung absieht dass mind. die Hälfte eine 5 haben soll, dann handelt es sich ja um geordnetes ziehen mit wiederholung, also [mm] $5^n$. [/mm] Jetzt muss ich aber noch die Anzahl von Studenten abziehen, die eine 5 haben, hierbei ergeben sich doch $ [mm] \summe_{k=\bruch{n}{2}}^{n} \vektor{n \\ k}$ [/mm] Möglichkeiten oder habe ich hier etwas nicht beachtet?
Aber irgendwie scheint mir das alles nicht zu stimmen, vielleicht kann mir jemand weiterhelfen :)
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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Grüße!
Hier hilft der binomische Lehrsatz weiter. 
Schreibe einfach die [mm] $5^n$ [/mm] Möglichkeiten um:
[mm] $5^n [/mm] = [mm] (4+1)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] 1^k 4^{n-k}$
[/mm]
Die Überlegung dahinter ist die Folgende: wieviele Möglichkeiten gibt es, die Noten zu verteilen, so dass keine 5 vorkommt? Einfach [mm] $4^n$, [/mm] da nur noch 4 Noten zur Verfügung stehen. Wieviele Möglichkeiten gibt es mit genau einer 5? Es gibt $n = {n [mm] \choose [/mm] 1}$ Möglichkeiten, den armen Studenten mit der 5 auszusuchen und für die Übrigen noch [mm] $4^{n-1}$ [/mm] Möglichkeiten der Verteilung usw.
Jeder der Summanden oben steht also für eine entsprechende Verteilung mit $k$ Fünfen. Die Lösung ist also
[mm] $\sum_{k= \frac{n}{2}}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] 4^{n-k}$
[/mm]
Zumindest, wenn $n$ gerade ist, ansonsten sollte man bei [mm] $\frac{n+1}{2}$ [/mm] beginnen zu summieren...  bzw. allgemein bei [mm] $\lceil \frac{n}{2} \rceil$.
[/mm]
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Di 01.08.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hey, danke für deine ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen beim Verständnis, ich denke ich habs verstanden :)
Schöne Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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