Klassenzahl imaginär quadr ZK < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:00 Fr 15.11.2013 | | Autor: | valoo |
Hallihallo!
Ich soll die Klassenzahl von einigen imaginär quadratischen Zahlkörper berechnen, z. B. von [mm] \IQ(\wurzel{-2}) [/mm] . Aber ich hab irgendwie so überhaupt keine Ahnung, wie man das anstellt. Alles, was wir hatten ist die Definition, dass das die Mächtigkeit der Gruppe der gebrochenen Ideale mod gebrochene Hauptideale ist. Zweitere sind schon handhabbarer als erstere, das wäre doch einfach [mm] K^{\times}/O^{\times}_{K}, [/mm] oder? Und erstere ist die freie abelsche Gruppe, die von den Primidealen in [mm] O_{K} [/mm] erzeugt wird, vielleicht würd es helfen, wenn man wüsste was die Primideale sind...
Jedenfalls hab ich nachgesehen und die Klassenzahl soll in diesem Fall 1 sein, wie bei den meisten anderen auch, die ich ausrechnen soll außer von [mm] \IQ(\wurzel{-5}). [/mm] Das heißt also in diesen Fällen sollte es ausreichend sein zu zeigen, dass [mm] O_{K} [/mm] ein Hauptidealring ist. Im oberen Fall ist der Ganzheitsring [mm] \IZ[\wurzel{-2}] [/mm] sogar euklidisch. In den anderen Fällen ist der Ganzheitsring [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] bzw. [mm] \IZ[\frac{1+\wurzel{-d}}{2}], [/mm] d=3,7. Ersterer ist nicht mal faktoriell, also kann die Klassenzahl schonmal nicht 1 sein. Wie man nun da aber zeigt, dass sie 2 ist? Und die anderen zwei Ringe: Da ist mir jetzt erstmal nicht bekannt, was das genau für Ringe sind. Man sollte aber zeigen können, dass das Hauptidealringe sind. Wie aber gehe ich im verbleibenden Fall vor und wie berechnet man allgemein die Klassenzahl?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 19.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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