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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Klasse 13.2 Ebenen berechnung
Klasse 13.2 Ebenen berechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Klasse 13.2 Ebenen berechnung: Lösungfhilfe für Aufgaben
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:27 Mi 11.01.2006
Autor: Anfaenger

Aufgabe
geg:. E1: x1+x2-x3=7

a)Durchstoßpunkte P1,P2,P3
b)Gib die Parameterform von E1 an
c)Gib die Normalenform von E1 an
d)Bestimmte Abstand von Punkt P(2/3/4) zu E1
e)E2: x1+x2+2x3=4  Wie liegt E1 zu E2
f)Gib Flacheninhalt der Fläche P1,P2,P3 an (zu Aufgabe a)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Das ist die Aufgabe aus meiner letzten Mathestunde und morgen schreib ich ne kontrolle darüber, doch ich seh da überhaupt nicht durch, wenn ihr mir weiterhelfen könntet wäre das voll nett...hab mich zwar hier schon umgeguckt nach Lösungen und bei verschiedenen Suchmaschinen, doch leider erfolglos...Ich versteh von der ganzen Aufgabe nur Bahnhof

BITTE helft mir...ich bin verzweifelt...

        
Bezug
Klasse 13.2 Ebenen berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 11.01.2006
Autor: Disap

Hallo. Ganz schön dreist, dass du hier niemanden begrüßt...

> geg:. E1: x1+x2-x3=7
>  
> a)Durchstoßpunkte P1,P2,P3

Ich denke mal, das sind die Punkte, an dem die Ebene die einzelnen Achsen schneidet. Z. B. die [mm] X_{1} [/mm] Achse bzw. die Gerade der Achse
g: [mm] \vec{x_{1}} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\0 \\0 } [/mm] +  [mm] \lambda \vektor{1 \\0 \\0 } [/mm]

Schnitt durch lineare Gleichungssysteme ausrechnen (also Ebene mit Gerade gleichsetzen)

>  b)Gib die Parameterform von E1 an

Wie habt ihr das denn gemacht?
E1: x1+x2-x3=7

Such dir hier einfach 3 Punkte aus, die nicht auf einer Geraden liegen, dann kannst du mit drei Punkten die Parameterform bilden!?

wie z.B.

x1+x2-x3=7 => [mm] x_{3}:= [/mm] 0 ; [mm] x_{2}:=4; x_{1}=3 [/mm] => A(3|4|0)
zwei Punkte fehlen noch.

>  c)Gib die Normalenform von E1 an

Den Normalenvektor kannst du ablesen
x1+x2-x3=7 =>  [mm] \vec{n} \vektor{1 \\ 1 \\-1} [/mm]
Such mal im Web nach Normalenform... Oder guck mal hier MBNormalenform

>  d)Bestimmte Abstand von Punkt P(2/3/4) zu E1

Um den Abstand zu berechnen, baust du eine Gerade
g: [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 3\\4}+ \mu \vec{n} [/mm]

Und berechnest den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Dies sei Punkt L.

Dann bildest du von diesen beiden Punkten den Vektor und nimmst den Betrag davon -> Abstand = [mm] |\overrightarrow{LP}| [/mm]

>  e)E2: x1+x2+2x3=4  Wie liegt E1 zu E2

Da solltest du die beiden Normalenvektoren miteinander vergleichen. Sind sie linear abhängig, dann sind die Ebenen parallel oder identisch.

>  f)Gib Flacheninhalt der Fläche P1,P2,P3 an (zu Aufgabe a)

Drei Punkte bilden wohl ein Dreieck. Du musst den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Zeig uns mal deine Ansätze.

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
> Das ist die Aufgabe aus meiner letzten Mathestunde und
> morgen schreib ich ne kontrolle darüber, doch ich seh da
> überhaupt nicht durch, wenn ihr mir weiterhelfen könntet
> wäre das voll nett...hab mich zwar hier schon umgeguckt
> nach Lösungen und bei verschiedenen Suchmaschinen, doch
> leider erfolglos...Ich versteh von der ganzen Aufgabe nur
> Bahnhof
>  
> BITTE helft mir...ich bin verzweifelt...

Niemand wird dir das hier vorrechnen. Es gibt in der linearen Algebra so viele verschiedene Möglichkeiten, ich selbst habe dir nur eine Variante genannt, daher ist es so wichtig, dass du deine eigenen Ansätze mal eben zur Schau stellst, wir können dir ja keine neuen Sachen beibringen, die du sowieso nicht kennen solltest.


mfG!
Disap

Bezug
                
Bezug
Klasse 13.2 Ebenen berechnung: frage zur antwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mi 11.01.2006
Autor: Anfaenger

erst mal hallo und vielen vielen dank für deine schelle antwort !!!

zu a)

wie kann ich das ganze denn gleichsetzen, was muss ich denn für lambda einsetzen??

zu b)

also wir haben das irgendwie mit stütz- und spannvektor ausgerechnet

als andere punkte hab ich jetzt für

x1=0 ,  x2=9 und x3=2  => B(0/9/2)
x1=10 ,x2=0 und x3=3  => C(10/0/3)

hab ich das jetzt so richtig gemacht?

zu e)

also der vergleich:

E1: n=(1/1/-1)
E2: n=(1/1/2 )

also liegen die ebenen nicht aufeinander und sind somit nicht linear abhängig.

wir hatten dabei noch festgestellt das cos=0 und sie somit einen winkel von 90grad bilden, doch wie wir darauf gekommen sind weiß ich auch nicht...



Bezug
                        
Bezug
Klasse 13.2 Ebenen berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Mi 11.01.2006
Autor: Disap

Servus.

> zu a)
>  
> wie kann ich das ganze denn gleichsetzen, was muss ich denn
> für lambda einsetzen??

(Man bildet eben drei Gleichungen. Und versucht die Variable [mm] \lambda [/mm] zu bestimmen/zu errechnen, die dann angibt, wo sich auf der Gerade welcher Punkt befindet. So könnte man es machen, wenn man schon die Parameterform hat)

Ansonsten, setzt man für die [mm] x_{1} [/mm] Komponente auch die [mm] X_{1}-Zeile [/mm] ein.

Wenn die Gerade so lautet:

g: $ [mm] \vec{x_{1}} [/mm] $ =  $ [mm] \vektor{0 \\0 \\0 } [/mm] $ +  $ [mm] \lambda \vektor{1 \\0 \\0 } [/mm] $

dann ist die erste "Zeile" die [mm] x_{1} [/mm] Komponente, bestehend aus [mm] 0+1\lambda. [/mm] (die zweite wäre dann [mm] 0+\lambda) [/mm]

Und das setzt man jetzt in die MBKoordinatengleichung ein.

E1: [mm] 1*x_1+1*x_2-x_3=7 [/mm]  || einsetzen

= [mm] 1*(0+\lambda)+1*(0+0\lambda) -1*(0+0\lambda) [/mm] =7

Dann bekommt man das lambda heraus und somit auch den Schnitt mit der Achse bzw. wo die Achse die Ebene durchstößt.

> zu b)
>  
> also wir haben das irgendwie mit stütz- und spannvektor
> ausgerechnet
>  
> als andere punkte hab ich jetzt für
>
> x1=0 ,  x2=9 und x3=2  => B(0/9/2)
>  x1=10 ,x2=0 und x3=3  => C(10/0/3)

>  
> hab ich das jetzt so richtig gemacht?

Ja, hast du richtig gemacht. Mit drei Punkten kommst du dann wieder auf eine Ebenengleichung in der Parameterform.  Zur Überprüfung kannst du von der Parametergleichung noch einmal den Normalenvektor bestimmen, um zu gucken, ob er (ein Vielfaches vom Normalenvektor der Koordinatengleichung ist) oder dem Normalenvektor der Koordinatengleichung zu 100% übereinstimmt (kein Vielfaches).

die Stützvektoren und Spannvektoren kannst du ja aus den drei Punkten bilden. Stützvektor wäre beispielsweise  [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] und die beiden Spannvektoren  [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] sowie  [mm] \overrightarrow{AC} [/mm]

Es gibt noch andere Wege, von der Koordinatengleichung eine Parametergleichung zu bestimmen, die halte ich (persönlich) allerdings für etwas lästiger. Das mit den drei Punkten bestimmen ist irgendwie leichter zu merken (finde ich).


> zu e)
>  
> also der vergleich:
>  
> E1: n=(1/1/-1)
>  E2: n=(1/1/2 )
>  
> also liegen die ebenen nicht aufeinander und sind somit
> nicht linear abhängig.

[ok]

> wir hatten dabei noch festgestellt das cos=0 und sie somit
> einen winkel von 90grad bilden, doch wie wir darauf
> gekommen sind weiß ich auch nicht...

Sinn würde dieses Verfahren nur beim Verhältnis von Geraden zu Ebenen machen. Steht die Gerade senkrecht zum Normalenvektor zur Ebene (Winkel von 90°), ist die Gerade parallel oder identisch zur Ebene.
Herausbekommen kann man das mit dem MBSkalarprodukt.
Wenn der Richtungsvektor der Gerade   [mm] \vec{r} [/mm] ist und der Normalenvektor  [mm] \vec{n}, [/mm] muss gelten:

[mm] \vec{r}* \vec{n} [/mm] = 0

Schöne Grüße
Disap

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