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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 10.03.2009 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | | In einem industriellen Verfahren entsteht aus A das Produkt B, wechles zu C weiter reagiert. Man ist an B interessiert. Alle Reaktionen laufen nach 1. Ordnung ab, wann ist die Konzentration von B am größten? |
Hallo!
Bei der obigen Frage komme ich so weit:
A reagiert mit der Geschwindigkeitskonstante [mm] k_a [/mm] zu B und B mit [mm] k_b [/mm] zu C.
[mm] \bruch{dA}{dt}=-k_a*[A] [/mm] (I)
[mm] \bruch{dB}{dt}=k_a*[A]-k_b*[B] [/mm] (II)
[mm] \bruch{dC}{dt}=-k_b*[B] [/mm] (III)
Wird (I) integriert folgt daraus:
[mm] [A]=[A]_0*e^{-k_a*t} [/mm] (IV)
(IV) in (II) ergibt
[mm] \bruch{dB}{dt}=k_a*[A]_0*e^{-k_a*t} -k_b*[B] [/mm]
Nun würde ich die Variablen Trennen und integrieren. Aber wie mache ich das hier? Im Atkins steht zu der Aufgabe ohne zwischenschritt dann
[mm] [B]=\bruch{k_a}{k_b+k_a}(e^{-k_a*t}-e^{-k_b*t}*[A]_0
[/mm]
Wie kommt man auf die letzte Gleichung?
Danke,
ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Mi 11.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> In einem industriellen Verfahren entsteht aus A das Produkt
> B, wechles zu C weiter reagiert. Man ist an B interessiert.
> Alle Reaktionen laufen nach 1. Ordnung ab, wann ist die
> Konzentration von B am größten?
> Hallo!
>
> Bei der obigen Frage komme ich so weit:
> A reagiert mit der Geschwindigkeitskonstante [mm]k_a[/mm] zu B und
> B mit [mm]k_b[/mm] zu C.
>
> [mm]\bruch{dA}{dt}=-k_a*[A][/mm] (I)
> [mm]\bruch{dB}{dt}=k_a*[A]-k_b*[B][/mm] (II)
> [mm]\bruch{dC}{dt}=-k_b*[B][/mm] (III)
>
> Wird (I) integriert folgt daraus:
> [mm][A]=[A]_0*e^{-k_a*t}[/mm] (IV)
>
> (IV) in (II) ergibt
> [mm]\bruch{dB}{dt}=k_a*[A]_0*e^{-k_a*t} -k_b*[B][/mm]
>
> Nun würde ich die Variablen Trennen und integrieren. Aber
> wie mache ich das hier?
Das ist eine inhomogene DGL. Du löst zunächst die homogene DGL
[mm] \bruch{d[B]}{dt} = -k_b*[B] \implies [B] = [B]_0 *e^{-k_b*t}[/mm]
und bestimmst dann eine Lösung der inhomogenen DGL, zum Beispiel durch Variation der Konstanten: Setze
[mm] [B] = C(t)*k_b*e^{-k_b*t} [/mm]
in die DGL ein und bestimme $C(t)$. Das führt auf jeden Fall zum richtigen Ergebnis, ist aber ein wenig Rechnerei.
Hier würde ich raten, dass die Lösung aus den zwei Anteilen [mm] $e^{-k_a*t}$ [/mm] und [mm] $e^{-k_b*t}$ [/mm] besteht, also den Ansatz
[mm] [B] = C_A * e^{-k_a*t}+C_b*e^{-k_b*t} [/mm]
machen und die Konstanten durch Einsetzen ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Do 12.03.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
Danke deine Antwort hat mich schon um einiges weiter gebracht.
Zum Ende habe ich noch irgend ein Problem:
Also nochmal die Kurzfassung:
Die eckigen Klammern als Konzentration spar ich mir jetzt mal.
[mm]\bruch{dB}{dt}=k_B*A_0*e^{-k_B*t}-k_c*B[/mm]
Aus dem homogenen Teil ergibt sich:
[mm]B=B_0*e^{-k_c*t}*C_{(t)} [/mm] Gleichung (1)
Das hab ich gelöst und komme auf:
[mm]C_{(t)}=\bruch{k_B*A_0}{B_0*(k_c-k_B)}*e^{(k_c-k_B)t}[/mm]
Laut Wedler "Lehrbuch der PC" stimmt das soweit, dann kommt das PRoblem:
Wo setze ich [mm] C_{(t)} [/mm] nun ein? Wenn ich das in Gleichung (1) mache und kürze, zusammenfasse etc komme ich auf:
[mm]B=B_0*e^{-k_c*t}*\bruch{k_B*A_0}{B_0*(k_c-k_B)}*e^{(k_c-k_B)t}[/mm]
[mm]B=\bruch{k_B*A_0}{(k_c-k_B)}*e^{-k_B*t}[/mm]
Laut Wedler kommt allerdings folgendes heraus und ich finde den Fehler nicht:
[mm]B=\bruch{k_B*A_0}{(k_c-k_B)}*(e^{-k_B*t}-e^{-k_C*t})[/mm]
Wo liegt der letzte Fehler?
Besten Dank!!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Fehler ist fast sicher, dass du bei C(t) die Integrationskonstante vergessen hast, steht das in deinem Buch ohne?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Do 12.03.2009 | | Autor: | ONeill |
> Hallo
> Dein Fehler ist fast sicher, dass du bei C(t) die
> Integrationskonstante vergessen hast, steht das in deinem
> Buch ohne?
> Gruss leduart
Ja leduart da hast du recht, aber wie bekomme ich die Integrationskonstante dann auch noch raus? Die müsste dann mein zweiter e-Therm sein?
Danke,
ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du B(0)=0 setzt kriegst du die Integrationskonstante raus. und nur fuer den fall gilt deine Gleichung.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 12.03.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Vielen dank leduart und rainer, ich bin nach 2 Seiten rechnen endlich auf die Lösung gekommen.
Gruß Christian
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