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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 04.07.2006 | | Autor: | ko-al |
| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] 5*\wurzel[2]{3*\wurzel[2]{5*\wurzel[2]{3*\wurzel[2]{5*...}}}} [/mm] |
Hab mir mal gedacht, dass man dies als schreiben kann als
[mm] 5^{1}*3^{1/2}*5^{1/4}...
[/mm]
Dann kann man doch bestimmt mit der geometrischen Folge weiterkommen, ich weiß aber noch nicht wie.
Kann mir bitte jemand helfen.
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Hallo ko-al!
Das ist doch schon mal eine hervorragende Idee mit der geometrischen Reihe... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sortieren wir mal Deinen Ansatz etwas um:
[mm] 5^{1}*3^{\bruch{1}{2}}*5^{\bruch{1}{4}}*3^{\bruch{1}{8}}*5^{\bruch{1}{16}}*... \ = \ 3^{\bruch{1}{2}}*3^{\bruch{1}{8}}*3^{\bruch{1}{32}}*... *5^{1}*5^{\bruch{1}{4}}*5^{\bruch{1}{16}}*... \ = \ 3^{\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^0}*3^{\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^1}*3^{\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^2}*... *5^{\left(\bruch{1}{4}\right)^0}*5^{\left(\bruch{1}{4}\right)^1}*5^{\left(\bruch{1}{4}\right)^2}*... [/mm]
Fassen wir nun jeweils gemäß  Potenzgesetz zusammen und wir erhalten:
$... \ = \ [mm] 3^{\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^0+\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^1+\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{4}\right)^2+...}*5^{\left(\bruch{1}{4}\right)^0+\left(\bruch{1}{4}\right)^1+\left(\bruch{1}{4}\right)^2+... } [/mm] \ = \ [mm] 3^{\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{4}\right)^k}*5^{\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{4}\right)^k}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter mit den entsprechenden Formel für die geometrische Reihe?
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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