Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. Berechnen sie die Ableitung an der angegebenen Stelle [mm] x_{0}.
[/mm]
a) [mm] f(x)=(2\wurzel{x}-x)^³ [/mm] ; [mm] x_{0}=16
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{1}{(x³-x)²} [/mm] ; [mm] x_{0}=4
[/mm]
c) [mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x [/mm] ; [mm] x_{0}=1
[/mm]
d) [mm] f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x}) [/mm] , [mm] x_{0}=2 [/mm] |
Hallo zusammen
ich habe diese Aufgaben schon gelöst und wollte von euch wissen, ob das Ergebnis nun richtig ist, da mein Leherer dies am Montag einsammeln wollte.
hier meine ergebnisse:
zu a) [mm] f´(x)=3(2\wurzel{x}-x)²*(\bruch{1}{\wurzel{x}}-1)
[/mm]
mit 16 eingesetzt: f´(x)=-144
zu b) [mm] f´(x)=-2(x³-x)^{-3}*(3x²-1) [/mm] = [mm] \bruch{-2(3x²-1)}{(x³-x)³}
[/mm]
mit 4 eingesetzt: f´(x)= [mm] -\bruch{47}{108000}
[/mm]
zu c) das muss ich ausführlich machen, weil mir da glaub ich ein fehler unterlaufen ist:
[mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x
[/mm]
f(x)=u(v(x))
[mm] v(x)=\bruch{1}{4}-x
[/mm]
v´(x)=-1
u(v)=cos(v)+x
u´(v)=-sin(v)+1
f´(x)=u´(v(x))*v´(x)
= [mm] -sin(\bruch{1}{4}-x)+1-1
[/mm]
[mm] =-sin(\bruch{1}{4}-x)
[/mm]
mit 1 eingesetzt hab ich dann [mm] \approx1,68
[/mm]
d) [mm] f´(x)=-cos(-x^{-2})+x^{-2}*(-2x^{-3})
[/mm]
Wär wirklich lieb, wenn ihr mir da helfen würdet. habe bei jeder aufgabe die kettenregel angewandt. wünsche euch ein schöe wochenende.
lg jenny
|
|
| |
|
Hallo Jennifer,
> Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. Berechnen
> sie die Ableitung an der angegebenen Stelle [mm]x_{0}.[/mm]
>
> a) [mm]f(x)=(2\wurzel{x}-x)^³[/mm] ; [mm]x_{0}=16[/mm]
> b) [mm]f(x)=\bruch{1}{(x³-x)²}[/mm] ; [mm]x_{0}=4[/mm]
> c) [mm]f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x[/mm] ; [mm]x_{0}=1[/mm]
> d) [mm]f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x})[/mm] , [mm]x_{0}=2[/mm]
> Hallo zusammen
>
> ich habe diese Aufgaben schon gelöst und wollte von euch
> wissen, ob das Ergebnis nun richtig ist, da mein Leherer
> dies am Montag einsammeln wollte.
>
> hier meine ergebnisse:
>
> zu a) [mm]f´(x)=3(2\wurzel{x}-x)²*(\bruch{1}{\wurzel{x}}-1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mit 16 eingesetzt: f´(x)=-144
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> zu b) [mm]f´(x)=-2(x³-x)^{-3}*(3x²-1)[/mm] = [mm]\bruch{-2(3x²-1)}{(x³-x)³}[/mm]
> mit 4 eingesetzt: f´(x)= [mm]-\bruch{47}{108000}[/mm]
>
> zu c) das muss ich ausführlich machen, weil mir da glaub
> ich ein fehler unterlaufen ist:
>
> [mm]f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x[/mm]
>
> f(x)=u(v(x))
> [mm]v(x)=\bruch{1}{4}-x[/mm]
> v´(x)=-1
> u(v)=cos(v)+x
> u´(v)=-sin(v)+1
> f´(x)=u´(v(x))*v´(x)
> = [mm]-sin(\bruch{1}{4}-x)+1-1[/mm]
> [mm]=-sin(\bruch{1}{4}-x)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast du was durcheinandergeworfen.
f ist von der Gestalt $f(x)=u(v(x))+w(x)$, das x am Ende ist als Summand angefügt, das kannste so nicht mit "reinziehen"
Deine abzuleitende Funktion ist eine Summe [mm] $f(x)=\red{\cos\left(\frac{1}{4}-x\right)} \green{+} \blue{x}$ [/mm] , also leitest du mit der Summenregel beide Summanden einzeln ab.
[mm] $f'(x)=\red{\left[\cos\left(\frac{1}{4}-x\right)\right]'} [/mm] \ [mm] \green{+} [/mm] \ [mm] \blue{\left[x\right]'}$
[/mm]
Für den ersten Summanden (und nur für den) brauchst du die Kettenregel, der zweite ist ja selbstredend 
>
> mit 1 eingesetzt hab ich dann [mm]\approx1,68[/mm]
>
> d) [mm]f´(x)=-cos(-x^{-2})+x^{-2}*(-2x^{-3})[/mm]
Hier schreibe mal auf, wie du das gerechnet hast, irgendwie ist hier einiges durcheinander geraten.
Auch hier wieder die Summenregel benutzen, den ersten Summanden [mm] $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ [/mm] schreiben, das kannst du locker ableiten, den anderen Summanden mit der Kettenregel verarzten ..
>
> Wär wirklich lieb, wenn ihr mir da helfen würdet. habe bei
> jeder aufgabe die kettenregel angewandt. wünsche euch ein
> schöe wochenende.
>
> lg jenny
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
[mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x
[/mm]
wenn ich nun die innere Funktion nehme also [mm] \bruch{1}{4}-x [/mm] hab eich die Ableitung -1
nehm ich nun die äußere funktion also cos(v) habe ich -sin(v)
zusammengefügt:
[mm] -sin(\bruch{1}{4}-x)+1
[/mm]
komme also auf das gleiche ergebnis. würde mich dazu über weitere tipps freuen...
und zur letzten nun der ausführliche weg:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^{-2}+sin(x^{-1})
[/mm]
[mm] v(x)=x^{-1}
[/mm]
[mm] v´(x)=-x^{-2}
[/mm]
[mm] u(v)=x^{-2}+sin(v)
[/mm]
[mm] u´(v)=-2x^{-3}+cos(v)
[/mm]
[mm] f´(x)=-2x^{-3}+cos(x^{-1})*-x^{-2}
[/mm]
habe die letzte aufgabe nun anders als beim letzten mal gerechnet, vielleicht stimtm dieses ergebbnis ja
lg jenny
|
|
|
| |
|
Hallo,
erste Aufgabe:
[mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x
[/mm]
[mm] f'(x)=-sin(\bruch{1}{4}-x)*( [/mm] -1 )+1
der Faktor ( -1 ) entsteht durch die innere Ableitung, also die Ableitung von [mm] \bruch{1}{4}-x
[/mm]
[mm] f'(x)=sin(\bruch{1}{4}-x)+1
[/mm]
zweite Aufgabe:
so weit in Ordnung, aber [mm] -x^{-2} [/mm] setze in Klammern, es handelt sich dabei um einen Faktor, bei dir folgen zwei Rechnezeichen aufeinander, jetzt erhälst du
[mm] f'(x)=-2*x^{-3}-x^{-2}*cos(x^{-1})
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
