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| Aufgabe | f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x+27}[/mm]
Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten Kettenregel. |
Hallo!
Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.
Bin folgendermaßen vorgegangen:
Ableitung:
[mm] \wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm]
und
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3x^2
[/mm]
weiter mit der Produktregel:
f'(x) = [mm] 0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm]
Ergebniss sollte aber f(x) = [mm] x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm] sein.
Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu diesem Ergebniss kommt?
Bei einer weiteren Rechnung f(x) = [mm] \wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm] komme ich ebenfalls nicht weiter.
Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke unter den Wurzeln ausmultiplizieren, und den erhaltenen Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26)
Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich f'(x)= [mm] 0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5 [/mm] und nicht wie angegeben:
f(x) = [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x+27}[/mm]
>
> Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten
> Kettenregel.
> Hallo!
>
> Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt
> als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet
> mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.
>
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> Ableitung:
>
> [mm]\wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kleiner Tipp: schreibe die Exponenten in geschweifte Klammern { }
So ergibt etwa (x+27)^{-0,5} dies: [mm] $(x+27)^{-0,5}$
[/mm]
>
> und
>
> [mm]x^3[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
>
> weiter mit der Produktregel:
>
> f'(x) = [mm]0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm]
perfekt!
>
> Ergebniss sollte aber f(x) =
> [mm]x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein.
>
> Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu
> diesem Ergebniss kommt?
Das ist nur zusammengefasst, erweitere die $(x+27)^{-0,5}$ auf der linken Seite mit $\blue{\sqrt{x+27}}$
Das gibt von deinem Ausdruck ausgehend: $0,5(x+27)^{-0,5}*x^3+3x^2(x+27)^{0,5}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x+27}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}$
$=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\blue{\sqrt{x+27}}}{\sqrt{x+27}\cdot{}\blue{\sqrt{x+27}}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\sqrt{x+27}}{x+27}\cdot{}x^3+3x^2\sqrt{x+27}$
Nun kannst du $\red{x^2\sqrt{x+27}}$ ausklammern:
$=\red{x^2\sqrt{x+27}}\cdot{}\left(\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{x+27}\cdot{}x+3}\right)$
>
> Bei einer weiteren Rechnung f(x) =
> [mm]\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm] komme ich ebenfalls nicht
> weiter.
> Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke
> unter den Wurzeln ausmultiplizieren
Das kannst du machen, dann bekommst du: [mm] $f(x)=\sqrt{(x+6)(3x+8)}=\sqrt{3x^2+26x+48}$
[/mm]
Das kannsst du dann wieder mit der Kettenregel ableiten und soltest auf dein weiter unten errechnetes Ergebnis kommen
> , und den erhaltenen
> Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich
> f'(x)=
> [mm]0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das ist richtig
> und nicht wie angegeben:
>
> f(x) =
> [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]
Das ist auch richtig und ist äquivalent zu deinem Ergebnis, du kannst dein Ergebnis wie bei der anderen Aufgabe schön zusammenfassen und solltest dann auf den obigen Ausdruck kommen
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
Gruß
schachuzipus
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Danke vielmals für deine Mühe! Sehr verständlich erklärt!
Gruß
angelika
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