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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Di 19.04.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Bild und den Kern der linearen Abbildung:
[mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^3->\IR^3:(x_1,x_2,x_3)^T->(2x_1+x_2+3x_3,x_1+4x_2-x_3,-7x_2+5x_3)^T [/mm] |
Hallo Matheraum!
Also ich versuche zuerst den Kern zu berechnen. Dazu muss ich ja zuerst das LGS lösen.
Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0&\mid&0 \\ 1&4&-7&\mid&0 \\ 3&-1&5&\mid&0 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0&\mid&0 \\ 0&-7&14&\mid&0 \\ 3&-1&5&\mid&0 } ->\pmat{ 2 & 1 & 0&\mid&0 \\ 0&-7&14&\mid&0 \\ 0&5&-10&\mid&0 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0&\mid&0 \\ 0&-7&14&\mid&0 \\ 0&0&0&\mid&0 }
[/mm]
Ab hier weiss ich nicht wie ich zum Kern komme.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe,
Ilya
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> Bestimmen Sie das Bild und den Kern der linearen Abbildung:
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> [mm]\gamma[/mm] :
> [mm]\IR^3->\IR^3:(x_1,x_2,x_3)^T->(2x_1+x_2+3x_3,x_1+4x_2-x_3,-7x_2+5x_3)^T[/mm]
> Hallo Matheraum!
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> Also ich versuche zuerst den Kern zu berechnen. Dazu muss
> ich ja zuerst das LGS lösen.
Hallo,
Dein GS ist falsch:
Du hast in der Koeffizientenmatrix Zeilen und Spalten vertauscht.
Aber nehmen wir einfach mal an, Du hättest eine richtige Zeilenstufenform am Ende.
> -> [mm]\pmat{\red{ 2} & 1 & 0&\mid&0 \\
0&\red{-7}&14&\mid&0 \\
0&0&0&\mid&0 }[/mm]
Zum Kern kommst Du dann so:
die führenden Zeilenelemente sind in der 1. und 2. Spalte (rot), also ist die dritte Variable frei wählbar.
Setze
[mm] x_3=t.
[/mm]
Aus der 2. Zeile erhältst Du
[mm] 7x_2+14x_3=0 [/mm]
<==>
[mm] x_2=-2x_3=-2t,
[/mm]
und aus der ersten Zeile
[mm] 2x_1+x_2=0
[/mm]
<==>
[mm] x_1=-0.5x_2=t.
[/mm]
Also habene alles Elemente des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_\\x_3}=\vektor{t\\-2t\\t}=t*\vektor{1\\-2\\1}.
[/mm]
Somit ist [mm] \vektor{1\\-2\\1} [/mm] eine basis des Kerns, dh. [mm] Kern\gamma=<\vektor{1\\-2\\1}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 19.04.2011 | | Autor: | Random |
Danke Angela... Wie komme ich nun auf das Bild... Das mit dem Kern hab ich wunderbar verstanden =)
LG Ilya
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Hallo Random,
> Danke Angela... Wie komme ich nun auf das Bild... Das mit
> dem Kern hab ich wunderbar verstanden =)
Das Bild wird aufgespannt von den linear
unabhängigen Spaltenvektoren der aufgestellten Matrix.
>
> LG Ilya
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Random,
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> > Danke Angela... Wie komme ich nun auf das Bild... Das mit
> > dem Kern hab ich wunderbar verstanden =)
>
>
> Das Bild wird aufgespannt von den linear
> unabhängigen Spaltenvektoren der aufgestellten Matrix.
Hallo Mathepower,
wenn Du diese Matrix
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1&4&-7 \\ 3&-1&5 } [/mm] $
meinst, so sollte es oben aber "Zeilenvektoren" lauten.
Gruß FRED
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> >
> > LG Ilya
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>
> Gruss
> MathePower
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