Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, V ein [mm] \IK-VR, \lambda [/mm] : V->V lineare abbildung mit [mm] \lambda [/mm] o [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda. [/mm] zeige: [mm] ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V [/mm] |
hab erst mal mit der dimensionsformel angefangen
[mm] ker(\lambda)+bild(\lambda) \supseteq [/mm] V
[mm] dim(ker(\lambda)) [/mm] + [mm] dim(bild(\lambda))=dimV
[/mm]
kann ich dann sagen, [mm] ker(\lambda) [/mm] + [mm] bild(\lambda)=V [/mm] ?
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> sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, V ein [mm]\IK-VR, \lambda[/mm] : V->V lineare
> abbildung mit [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda.[/mm] zeige:
> [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm]
> hab erst mal mit der dimensionsformel angefangen
>
> [mm]ker(\lambda)+bild(\lambda) \supseteq[/mm] V
Hallo,
ist das eine Tatsache, oder ist das eine Behauptung, die Du beweisen möchtest?
Wenn es eine Tatsache ist, dann gehört eine Begründung dazu, wenn Du es beweisen möchtest, dann solltest Du es als Behauptung kennzeichnen.
Und es beweisen.
>
> [mm]dim(ker(\lambda))[/mm] + [mm]dim(bild(\lambda))=dimV[/mm]
Ja, das ist die Dimensionsformel.
>
> kann ich dann sagen, [mm]ker(\lambda)[/mm] + [mm]bild(\lambda)=V[/mm] ?
Wenn Du eine gute Begründung hast, kannst Du das sagen.
Aber welche Begründung sollte das sein?
Kommt Dir Dein Beweis schlüssig vor?
Wunderst Du Dich nicht, daß Du jetzt fertig bist, ohne die wesentliche Voraussetzung überhaupt verwendet zu haben?
Ich habe es Dir im anderen Thread schon gesagt: wenn Du irgendetwas schreibst, was Du nicht mit einer Def. oder der Nr. eines Satzes aus dem Skript begründen kannst, kannst Du es gleich lassen! Wir sind doch nicht in einem esoterischen Zirkel - hier geht's um das Lernen von Mathematik!
Nochmal zum Anfang:
Du hast eine lineare Abbildung [mm] \lambda [/mm] aus dem V in den V mit der Eigenschaft [mm] \lambda\circ\lambda=\lambda.
[/mm]
Das ist Deine Voraussetzung.
Zeigen sollst Du nun, daß
[mm] Kern\lambda+Bild\lambda=V [/mm] ist.
Bevor man nun mit dem beweisen beginnt, sollte man sich erstmal überlegen, was man dafür überhaupt zeigen muß.
Was bedeutet es denn, daß V die Sume von [mm] Kern\lambda [/mm] und [mm] Bild\lambda [/mm] ist.
Wie ist die Summe von Untervektorräumen definiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo angela,
ein vektorraum V heißt direkte summe von zwei untervektorräumen W1 und W2, wenn V=W1+W2 und W1 [mm] \cap [/mm] W2={0}
hier also [mm] ker(\lambda) \cap bild(\lambda) [/mm] = {0}
wegen [mm] ker(\lambda) \cap bild(\lambda) \subseteq [/mm] V gilt:
[mm] dim(ker(\lambda)+bild(\lambda))=dim(ker(\lambda)) [/mm] + [mm] dim(bild(\lambda)) [/mm] - [mm] dim(ker(\lambda) \cap bild(\lambda))
[/mm]
geht es so?
gruß
kioto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo angela,
>
> ein vektorraum V heißt direkte summe von zwei
> untervektorräumen W1 und W2, wenn V=W1+W2 und W1 [mm]\cap[/mm]
> W2={0}
>
> hier also [mm]ker(\lambda) \cap bild(\lambda)[/mm] = {0}
> wegen [mm]ker(\lambda) \cap bild(\lambda) \subseteq[/mm] V gilt:
> [mm]dim(ker(\lambda)+bild(\lambda))=dim(ker(\lambda))[/mm] +
> [mm]dim(bild(\lambda))[/mm] - [mm]dim(ker(\lambda) \cap bild(\lambda))[/mm]
>
> geht es so?
Nein. Dein Vektorraum V ist nicht als endlichdimensional vorausgesetzt.
Überlege Dir:
1. [mm] (I-\lambda) \circ (I-\lambda)= (I-\lambda)
[/mm]
2. Bild [mm] (\lamda)= [/mm] { x [mm] \in [/mm] V : [mm] \lambda(x)=x [/mm] }
3. [mm] Kern(\lambda)= Bild(I-\lambda)
[/mm]
FRED
>
> gruß
> kioto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Überlege Dir:
>
> 1. [mm](I-\lambda) \circ (I-\lambda)= (I-\lambda)[/mm]
>
> 2. Bild [mm](\lamda)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ x [mm]\in[/mm] V : [mm]\lambda(x)=x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> 3. [mm]Kern(\lambda)= Bild(I-\lambda)[/mm]
>
> FRED
hallo fred,
tut mir leid, ich kann nicht viel damit anfangen, wieso habe ich jetzt auf einmal ein I?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Überlege Dir:
> >
> > 1. [mm](I-\lambda) \circ (I-\lambda)= (I-\lambda)[/mm]
> >
> > 2. Bild [mm](\lamda)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> { x [mm]\in[/mm] V : [mm]\lambda(x)=x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
> >
> > 3. [mm]Kern(\lambda)= Bild(I-\lambda)[/mm]
> >
> > FRED
>
> hallo fred,
>
> tut mir leid, ich kann nicht viel damit anfangen, wieso
> habe ich jetzt auf einmal ein I?
I ist die Identität auf V
Wir nehmen uns ein x [mm] \in [/mm] V
Dann: x= [mm] \lambda(x) +(I-\lambda)(x) [/mm] , einverstanden ?
Wegen meines Punktes 3. von oben , ist dann V die summe von [mm] Bild(\lambda) [/mm] unf [mm] Kern(\lambda)
[/mm]
Jetzt mußt Du noch zeigen, dass die Summe direkt ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo fred,
>
> Wir nehmen uns ein x [mm]\in[/mm] V
>
> Dann: x= [mm]\lambda(x) +(I-\lambda)(x)[/mm] , einverstanden ?
>
> Wegen meines Punktes 3. von oben , ist dann V die summe von
> [mm]Bild(\lambda)[/mm] unf [mm]Kern(\lambda)[/mm]
>
> Jetzt mußt Du noch zeigen, dass die Summe direkt ist.
>
wegen [mm] ker(\lambda)\cap bild(\lambda) [/mm] = {0}?
aber gilt es nicht auch nur für endlichdimensionale vektorräume?
kioto
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred,
>
> >
> > Wir nehmen uns ein x [mm]\in[/mm] V
> >
> > Dann: x= [mm]\lambda(x) +(I-\lambda)(x)[/mm] , einverstanden ?
> >
> > Wegen meines Punktes 3. von oben , ist dann V die summe von
> > [mm]Bild(\lambda)[/mm] unf [mm]Kern(\lambda)[/mm]
> >
> > Jetzt mußt Du noch zeigen, dass die Summe direkt ist.
> >
> wegen [mm]ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm] = {0}?
????
Das
[mm]ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm] = {0}
sollst Du noch zeigen !
> aber gilt es nicht auch nur für endlichdimensionale
> vektorräume?
Wie bitte ?
FRED
>
> kioto
>
> > FRED
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
> Das
>
[mm] ker(\lambda)\cap bild(\lambda) [/mm] = {0}
>
> sollst Du noch zeigen !
wegen V = [mm] kern(\lambda) [/mm] + bild [mm] (\lambda) [/mm] und dimV [mm] =dimkern(\lambda) [/mm] + dimbild [mm] (\lambda) [/mm] und
V= [mm] kern(\lambda) \oplus [/mm] bild [mm] (\lambda) [/mm] ?
> > aber gilt es nicht auch nur für endlichdimensionale
> > vektorräume?
>
wegen dem, was angela gesagt hat, bin ich mir halt unsicher.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Das
> >
> [mm]ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm] = {0}
> >
> > sollst Du noch zeigen !
>
> wegen V = [mm]kern(\lambda)[/mm] + bild [mm](\lambda)[/mm] und dimV
> [mm]=dimkern(\lambda)[/mm] + dimbild [mm](\lambda)[/mm] und
> V= [mm]kern(\lambda) \oplus[/mm] bild [mm](\lambda)[/mm] ?
Lass doch mal dieses dim weg. Ich habe dier schon gesagt, dass V nicht notwendig endlich dim. ist.
Sei x [mm] \in ker(\lambda)\cap bild(\lambda)
[/mm]
Wegen x [mm] \in ker(\lambda), [/mm] ist [mm] \lambda(x)=0 [/mm] und wegen x [mm] \in bild(\lambda), [/mm] ist [mm] \lambda(x)=x.
[/mm]
Dann ist x= ?
FRED
>
> > > aber gilt es nicht auch nur für endlichdimensionale
> > > vektorräume?
> >
> wegen dem, was angela gesagt hat, bin ich mir halt
> unsicher.....
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
> >
> > > Das
> > >
> > [mm]ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm] = {0}
> > >
> > > sollst Du noch zeigen !
> >
> > wegen V = [mm]kern(\lambda)[/mm] + bild [mm](\lambda)[/mm] und dimV
> > [mm]=dimkern(\lambda)[/mm] + dimbild [mm](\lambda)[/mm] und
> > V= [mm]kern(\lambda) \oplus[/mm] bild [mm](\lambda)[/mm] ?
>
> Lass doch mal dieses dim weg. Ich habe dier schon gesagt,
> dass V nicht notwendig endlich dim. ist.
>
> Sei x [mm]\in ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm]
>
> Wegen x [mm]\in ker(\lambda),[/mm] ist [mm]\lambda(x)=0[/mm] und wegen x [mm]\in bild(\lambda),[/mm]
> ist [mm]\lambda(x)=x.[/mm]
>
> Dann ist x= ?
>
ist x dann 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > > Das
> > > >
> > > [mm]ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm] = {0}
> > > >
> > > > sollst Du noch zeigen !
> > >
> > > wegen V = [mm]kern(\lambda)[/mm] + bild [mm](\lambda)[/mm] und dimV
> > > [mm]=dimkern(\lambda)[/mm] + dimbild [mm](\lambda)[/mm] und
> > > V= [mm]kern(\lambda) \oplus[/mm] bild [mm](\lambda)[/mm] ?
> >
> > Lass doch mal dieses dim weg. Ich habe dier schon gesagt,
> > dass V nicht notwendig endlich dim. ist.
> >
> > Sei x [mm]\in ker(\lambda)\cap bild(\lambda)[/mm]
> >
> > Wegen x [mm]\in ker(\lambda),[/mm] ist [mm]\lambda(x)=0[/mm] und wegen x [mm]\in bild(\lambda),[/mm]
> > ist [mm]\lambda(x)=x.[/mm]
> >
> > Dann ist x= ?
> >
> ist x dann 0?
Ja
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo fred,
habe ich jetzt bewiesen, dass 0 sowohl im kern als auch im bild liegt? reicht das als beweis?
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred,
>
> habe ich jetzt bewiesen, dass 0 sowohl im kern als auch im
> bild liegt? reicht das als beweis?
Man glaubt es nicht ...
1. 0 liegt immer sowohl im kern als auch im bild, weil kern und bild Untervektorräume sind.
2. gezeigt ist: im Schnitt von kern und bild liegt nur (!) 0
FRED
>
> kioto
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
aber warum reicht es als beweis für [mm] ker(\lambda)+bild(\lambda) [/mm] = V?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber warum reicht es als beweis für
> [mm]ker(\lambda)+bild(\lambda)[/mm] = V?
Entweder willst Du mich verschei..ern oder Du hast 0 Ahnung von Summen von Unterräumen , direkten Summen, linearen Abbildungen und dem ganzen Pipapo
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, V ein [mm] \IK-VR, \lambda [/mm] : V->V lineare abbildung mit [mm] \lambda [/mm] o [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda. [/mm] zeige: [mm] ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V [/mm] |
als Lösung habe ich:
[mm] ker(\lambda) [/mm] + [mm] bild(\lambda) \subseteq [/mm] V
annahme:
[mm] \exists [/mm] U UVR mit U [mm] \subseteq ker(\lambda) [/mm] und U [mm] \subseteq [/mm] bild [mm] (\lambda)
[/mm]
das habe ich von jemand, was ich nicht verstehe:
=> [mm] \lambda [\lambda^{-1}[U]]=U [/mm] nach angabe gilt aber [mm] \lambda [/mm] o [mm] \lambda [/mm] ^{-1}[U]]=0
=> dim(ker(g)) = m-n
=> dim(lm(f)) + dim(ker(g))=n+m-n=m
=>lm(f) + ker(g) = [mm] \IR^{m}
[/mm]
warum ist dim(ker(g)) = m-n?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, V ein [mm]\IK-VR, \lambda[/mm] : V->V lineare
> abbildung mit [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda.[/mm] zeige:
> [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm]
> als Lösung habe ich:
>
> [mm]ker(\lambda)[/mm] + [mm]bild(\lambda) \subseteq[/mm] V
>
> annahme:
> [mm]\exists[/mm] U UVR mit U [mm]\subseteq ker(\lambda)[/mm] und U [mm]\subseteq[/mm]
> bild [mm](\lambda)[/mm]
>
> das habe ich von jemand, was ich nicht verstehe:
>
> => [mm]\lambda [\lambda^{-1}[U]]=U[/mm] nach angabe gilt aber
> [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] ^{-1}[U]]=0
>
> => dim(ker(g)) = m-n
> => dim(lm(f)) + dim(ker(g))=n+m-n=m
> =>lm(f) + ker(g) = [mm]\IR^{m}[/mm]
>
> warum ist dim(ker(g)) = m-n?
Was soll denn das ?
1. Dass [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm] ist hab ich Dir vorgemacht.
2. Dass die Summe direkt ist habe ich Dir auch vorgemacht
3. Dass die Dimensionsargumente nicht ziehen, habe ich Dir auch schon gesagt !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | kioto |
> > sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, V ein [mm]\IK-VR, \lambda[/mm] : V->V lineare
> > abbildung mit [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda.[/mm] zeige:
> > [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm]
> > als Lösung habe ich:
> >
> > [mm]ker(\lambda)[/mm] + [mm]bild(\lambda) \subseteq[/mm] V
> >
> > annahme:
> > [mm]\exists[/mm] U UVR mit U [mm]\subseteq ker(\lambda)[/mm] und U [mm]\subseteq[/mm]
> > bild [mm](\lambda)[/mm]
> >
> > das habe ich von jemand, was ich nicht verstehe:
> >
> > => [mm]\lambda [\lambda^{-1}[U]]=U[/mm] nach angabe gilt aber
> > [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] ^{-1}[U]]=0
> >
> > => dim(ker(g)) = m-n
> > => dim(lm(f)) + dim(ker(g))=n+m-n=m
> > =>lm(f) + ker(g) = [mm]\IR^{m}[/mm]
> >
> > warum ist dim(ker(g)) = m-n?
>
> Was soll denn das ?
>
> 1. Dass [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm] ist hab ich Dir
> vorgemacht.
>
> 2. Dass die Summe direkt ist habe ich Dir auch vorgemacht
>
> 3. Dass die Dimensionsargumente nicht ziehen, habe ich Dir
> auch schon gesagt !!
>
> FRED
ich weiß auch nicht, was das soll, ich weiß nur, dass das die "Musterlösung" von den tutoren ist
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> > > sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, V ein [mm]\IK-VR, \lambda[/mm] : V->V lineare
> > > abbildung mit [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda.[/mm] zeige:
> > > [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm]
> > > als Lösung habe ich:
> > >
> > > [mm]ker(\lambda)[/mm] + [mm]bild(\lambda) \subseteq[/mm] V
> > >
> > > annahme:
> > > [mm]\exists[/mm] U UVR mit U [mm]\subseteq ker(\lambda)[/mm] und U [mm]\subseteq[/mm]
> > > bild [mm](\lambda)[/mm]
> > >
> > > das habe ich von jemand, was ich nicht verstehe:
> > >
> > > => [mm]\lambda [\lambda^{-1}[U]]=U[/mm] nach angabe gilt aber
> > > [mm]\lambda[/mm] o [mm]\lambda[/mm] ^{-1}[U]]=0
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> > > => dim(ker(g)) = m-n
> > > => dim(lm(f)) + dim(ker(g))=n+m-n=m
> > > =>lm(f) + ker(g) = [mm]\IR^{m}[/mm]
> > >
> > > warum ist dim(ker(g)) = m-n?
> >
> > Was soll denn das ?
> >
> > 1. Dass [mm]ker(\lambda)+Bild(\lambda)=V[/mm] ist hab ich Dir
> > vorgemacht.
> >
> > 2. Dass die Summe direkt ist habe ich Dir auch vorgemacht
> >
> > 3. Dass die Dimensionsargumente nicht ziehen, habe ich Dir
> > auch schon gesagt !!
> >
> > FRED
>
> ich weiß auch nicht, was das soll, ich weiß nur, dass das
> die "Musterlösung" von den tutoren ist
>
Hallo,
das ist keine Musterlösung, sondern eine Lösungsskizze.
Ich denke, daß vieles mündlich mitgeteilt wurde, was nicht angeschrieben wurde.
Ich versuche mal, das, was zusätzlich gesagt wurde, mit aufzuschreiben.
Wie Fred schon sagt: das ganze ist kompletti für die Tonne, wenn es nicht ausdrücklich um einen endl.-dimensionalen VR V geht.
Möglicherweise sind bei Euch (im Moment) VRe lt. Vereinbarung endl.-dimensional.
Wir wissen das nicht, nur Du.
Zunächst wird festgestellt, daß
> > > [mm]ker(\lambda)[/mm] + [mm]bild(\lambda) \subseteq[/mm] V.
Überleg Dir, warum das so ist.
Gezeigt werden soll nun zunächst, daß diese Summe direkt ist - was Du übrigens beim Posten der Aufgabenstellung der Hellsichtigkeit Deiner Antwortgeber überlassen hast.
Wahrlich, ich sage Dir: das Zeichen [mm] \oplus [/mm] stand nicht als niedliche Verzierung auf dem Aufgabenblatt...
Dann wurde wohl gesagt und nicht geschrieben, daß V die Dimension m hat, also isomorph ist zum [mm] \IR^m.
[/mm]
Also ist der Kern auch endl.- dimensional mit Dimension n.
Danach wird gezeigt, daß der Schnitt von Bild und Kern nur aus dem Nullraum bestehen kann.
Sei der UVR U dazu der Schnitt von Kern und Bild.
Dann ist U eine Teilmenge von beiden.
Ich mache jetzt nicht wie in der Übung mit den Mengen weiter, sondern elementweise, weil es durchsichtiger ist meinem Empfinden nach.
Sei [mm] u\in [/mm] U.
Weil u im Bild von [mm] \lambda [/mm] ist, gibt es ein [mm] v\in [/mm] V mit [mm] \lambda(v)=u.
[/mm]
Weil u im Kern von [mm] \lambda [/mm] ist, ist [mm] \lambda(u)=0, [/mm]
also ist [mm] 0=\lambda\circ\lambda(v)=\lambda [/mm] (v) ==> [mm] v\in [/mm] Kern [mm] \lambda.
[/mm]
Also ist [mm] u=\lambda(v)=0.
[/mm]
Es ist also [mm] U=\{0\}, [/mm] dh. die Summe von Bild und Kern ist direkt.
V hat nach Voraussetzung die Dimension m, ist also isomorph zum [mm] \IR^m, [/mm] so daß man sich alles ohne Verlust auch für diesen Raum überlegen kann ( - ich sage nicht, daß ich es superhilfreich finde).
Der Kern ist n-dimensional mit einer Basis [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_n), [/mm] das Bild nach dem Kern-Bild-Satz m-n dimensional mit einer Basis [mm] (v_{n+1},...,v_{m}).
[/mm]
Weil der Schnitt leer ist, ist [mm] Kern\lambda \oplus Bild\lambda [/mm] ein Raum der Dimension m.
Anfangs wurde festgestellt, daß die Summe ein Unterraum von [mm] V\cong \IR^m [/mm] ist, also ist [mm] Kern\lambda \oplus Bild\lambda=V.
[/mm]
So ungefähr dürfte der Tutor sich das gedacht haben.
Gruß v. Angela
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