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| Aufgabe | Zu gegebenen linearen Abbildungen zu Polynomen (Standardbasis = (1, x, [mm] x^2, x^3)) [/mm] sind zwei Matrizen sind gegeben bzw. wurden sie berechnet und lauten:
$A = (2, 0, [mm] \frac{2}{3}, [/mm] 0)$ (bzgl. einer linearen Abbildung f)
$B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] (bzgl. einer linearen Abbildung g)
Zu berechnen ist nun der Kern der Matrizen, um dann zu zeigen, dass
der Kern von B eine echte Teilmenge des Kerns von A ist. |
1.) Zum Kern einer zur Matrix B gehörenden linearen Abbildung gilt definitionsgemäß für alle $v [mm] \in [/mm] ker$ [mm] $F_B [/mm] (k) = 0$. Da diese lineare Abbildung nun durch Matrix B eindeutig bestimmt ist löse ich ein homogenes LGS, also die Matrix:
$(B|0) = ... = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$, [/mm] d.h. es ist $ker(g) = [mm] span\{x - x^3\}$ [/mm] (Dimension 1?)
Da nun auch $A [mm] \cdot [/mm] (0, x, 0, [mm] -x^3) [/mm] = 0 $ ist der Kern von g zumindest im Kern von f enthalten! Nun möchte ich den Kern von f bestimmen, um dann zeigen zu können, dass er mindestens Dimension 2 besitzt.
Wenn ich nun $ (A|0) = (2, 0 , [mm] \frac{2}{3}, [/mm] 0, 0)$ lösen möchte.. naja dann ist doch $ [mm] x^2 [/mm] = -3 $ und damit $ker(f) = [mm] span\{-3, 0, 1, 0\}$ [/mm] ?! Irgendwas passt da nicht.
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Hallo Kartoffelchen,
> Zu gegebenen linearen Abbildungen zu Polynomen
> (Standardbasis = (1, x, [mm]x^2, x^3))[/mm] sind zwei Matrizen sind
> gegeben bzw. wurden sie berechnet und lauten:
>
> [mm]A = (2, 0, \frac{2}{3}, 0)[/mm] (bzgl. einer linearen Abbildung
> f)
> [mm]B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> (bzgl. einer linearen Abbildung g)
>
> Zu berechnen ist nun der Kern der Matrizen, um dann zu
> zeigen, dass
> der Kern von B eine echte Teilmenge des Kerns von A ist.
>
> 1.) Zum Kern einer zur Matrix B gehörenden linearen
> Abbildung gilt definitionsgemäß für alle [mm]v \in ker[/mm] [mm]F_B (k) = 0[/mm].
> Da diese lineare Abbildung nun durch Matrix B eindeutig
> bestimmt ist löse ich ein homogenes LGS, also die Matrix:
>
> [mm](B|0) = ... = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm],
> d.h. es ist [mm]ker(g) = span\{x - x^3\}[/mm] (Dimension 1?)
>
> Da nun auch [mm]A \cdot (0, x, 0, -x^3) = 0[/mm] ist der Kern von g
> zumindest im Kern von f enthalten! Nun möchte ich den Kern
> von f bestimmen, um dann zeigen zu können, dass er
> mindestens Dimension 2 besitzt.
>
> Wenn ich nun [mm](A|0) = (2, 0 , \frac{2}{3}, 0, 0)[/mm] lösen
> möchte.. naja dann ist doch [mm]x^2 = -3[/mm] und damit [mm]ker(f) = span\{-3, 0, 1, 0\}[/mm]
> ?! Irgendwas passt da nicht.
Wenn [mm]p=\pmat{p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3}}[/mm] ist,
wobei [mm]p_{i}[/mm] der Koeffizient vor [mm]x^{i}, \ i=0,1,2,3[/mm] bedeutet,
dann muss die Gleichung
[mm]2*p_{0}+0*p_{1}+\bruch{2}{3}*p_{2}+0*p_{3}=0[/mm] erfüllt sein.
Bestimme nun die Lösungsmenge dieser Gleichung.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mi 26.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu dim(ker(f)):
Ist V:= Menge aller Polynome mit Grad [mm] \le [/mm] 3, so ist doch f eine Linearform auf V. Da f [mm] \ne [/mm] 0, haben wir
dim(Bild(f))=1.
Wegen
4 = dim(V)= dim (ker(f))+dim(Bild(f))
folgt: dim (ker(f))=3.
FRED
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