Kern einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 20.09.2015 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | | Seien A und B in [mm] M_{33}(\IR) [/mm] : Seien [mm] \chi_{A}= T^3 - T[/mm] und [mm]\chi_{B}= T^3 - 7T^2 + 9T -3 [/mm]. Beweisen Sie, dass dim(Kern(AB))=1 ist. |
Hallo liebes Forum,
irgendwie komme ich an dieser Aufgabe nicht weiter.... Kann mir jemand eine einen Tipp geben?
Ich hatte überlegt, dass die Matrix AB ja den Rang 2 haben müsste, damit der Kern die Dimension 1 hat. Aber was nützen mir da jetzt die charakteristischen Polynome? Von der Matrix A kann ich daran ja noch die Eigenwerte ablesen, einer davon ist 0, d.h. also det(A) =0 und nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist det(AB) = det (A) * det(B) gleich 0.
Also hat AB und schon einmal nicht den Rang 3. Aber wie zeige ich noch, dass sie nicht den Rang 0 oder 1 haben kann?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 So 20.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien A und B in [mm]M_{33}(\IR)[/mm] : Seien [mm]\chi_{A}= T^3 - T[/mm]
> und [mm]\chi_{B}= T^3 - 7T^2 + 9T -3 [/mm]. Beweisen Sie, dass
> dim(Kern(AB))=1 ist.
> Hallo liebes Forum,
>
> irgendwie komme ich an dieser Aufgabe nicht weiter.... Kann
> mir jemand eine einen Tipp geben?
>
> Ich hatte überlegt, dass die Matrix AB ja den Rang 2 haben
> müsste, damit der Kern die Dimension 1 hat. Aber was
> nützen mir da jetzt die charakteristischen Polynome? Von
> der Matrix A kann ich daran ja noch die Eigenwerte ablesen,
> einer davon ist 0, d.h. also det(A) =0 und nach dem
> Determinantenmultiplikationssatz ist det(AB) = det (A) *
> det(B) gleich 0.
>
> Also hat AB und schon einmal nicht den Rang 3. Aber wie
> zeige ich noch, dass sie nicht den Rang 0 oder 1 haben
> kann?
>
B ist invertierbar, also ist dim kern (AB)=di m kern (A)
Mach dir klar,dass dim kern (A)=1 ist, denn A hat 3 verschiedene Eigenwerte.
Fred
> Vielen Dank
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 21.09.2015 | | Autor: | Stala |
Hallo fred
danke, das hilft mir schon einmal, hab nur 2 kurze Nachfragen:
B ist invertierbar: klar
dim Kern(AB) = dim Kern (A) für B invertierbar. Diese Implikation kenne ich nicht, habe mir aber über den Rangsatz überlegt:
[mm]Rang(AB)\le Rang(A) = Rang ((AB)B^{-1}) \le Rang(AB) [/mm]
also Rang(AB)= Rang (A) und folglich ist auch die Dimension des Kerns gleich.
Bleibt also noch, dass Rang(A)=2 ist
Auch hier ist mir deine Implikation so als Satz nicht bekannt, daher versuche ich folgende Argumentation.
Da A hat die Eigenwerte (0;1;-1) und deren algebraische Vielfachheit jeweils 1 ist, ist die geometrische Vielfachheit, also die Dimension des zugehörigen Eigenraums auch jeweils 1. Sei also u der Vektor für den [mm] Au=0*u [/mm] gilt, also [mm] (A-0*E)*u=Au=0 [/mm]
Und somit ist dim(Kern(A))=1
Über eine kurze Rückmeldung ob die Argumentation so schlüssig und nachvollziehbar ist, wäre ich dankbar :)
VG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> danke, das hilft mir schon einmal, hab nur 2 kurze
> Nachfragen:
>
> B ist invertierbar: klar
>
> dim Kern(AB) = dim Kern (A) für B invertierbar. Diese
> Implikation kenne ich nicht, habe mir aber über den
> Rangsatz überlegt:
>
> [mm]Rang(AB)\le Rang(A) = Rang ((AB)B^{-1}) \le Rang(AB)[/mm]
> also
> Rang(AB)= Rang (A) und folglich ist auch die Dimension des
> Kerns gleich.
>
> Bleibt also noch, dass Rang(A)=2 ist
>
> Auch hier ist mir deine Implikation so als Satz nicht
> bekannt, daher versuche ich folgende Argumentation.
>
> Da A hat die Eigenwerte (0;1;-1) und deren algebraische
> Vielfachheit jeweils 1 ist, ist die geometrische
> Vielfachheit, also die Dimension des zugehörigen
> Eigenraums auch jeweils 1. Sei also u der Vektor für den
> [mm]Au=0*u[/mm] gilt, also [mm](A-0*E)*u=Au=0[/mm]
> Und somit ist dim(Kern(A))=1
>
> Über eine kurze Rückmeldung ob die Argumentation so
> schlüssig und nachvollziehbar ist, wäre ich dankbar :)
Alles O.K.
FRED
>
> VG
>
|
|
|
|
