Kern einer Abbildung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Do 03.04.2008 | | Autor: | winbm |
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Abbildungsmatrix:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3 \\
-2 & -1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen Sie den Kern dieser Abbildung (durch Angabe einer Basis) |
Hallo zusammen,
die schritte (Zeilenaddition, -multiplikation etc) bis zu folgender darstellung sind für mich nachvollziehbar:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand verständlich erklären wie ich zur folgenden lösung komme, bzw wie generell aus obiger Abbildung der Kern berechnet wird:
Kern = span
[mm] \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}
[/mm]
Vielen dank schon einmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 03.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
nun, erst einmal zum Begriff des Kerns: Der Kern wird auch ab und zu mal der Nullraum einer Matrix genannt, und zu diesem Vektorraum gehören alle Vektoren, die mit deiner Matrix Multipliziert 0 ergeben. D.h. du löst im Wesentlichen dsa lineare Gleichungssystem Ax=0.
Bis hierhin sind dann wohl nur ein paar elementare Zeilentrafos gemacht worden.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Gut, was sagt uns dieses Gleichungssystem aus? [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind festgelegt, weil dort Pivot-Elemente stehen. Dann können wir die Gleichung ja mal wieder ausformulieren:
1. Zeile: [mm] $x_1-x_4=0$
[/mm]
2. Zeile: [mm] $x_2+x_3+2x_4=0$
[/mm]
3. Zeile: [mm] $x_3=x_3$
[/mm]
und die 4., nicht vorhandene Zeile sagt ebenfalls aus: [mm] x_4 [/mm] können wir uns frei wählen.
Wenn wir uns nun also [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] frei wählen (denn das sind keine Pivot-Variablen), dann können wir ja nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] freistellen, so dass dann in der 1. und 2. Zeile das darsteht:
[mm] $x_1=x_4$
[/mm]
[mm] $x_2=-x_3-2x_4$
[/mm]
Gut, wenn wir das ganze jetzt in einen Lösungsvektor packen, der Ax=0 löst, dann schaut das ganze so aus:
[mm] $\vec{x}=\pmat{x_4\\-x_3-2x_4\\x_3\\x_4}$ [/mm] Soweit klar?
Jetzt ziehen wir die Summen auseinander:
[mm] $\vec{x}=\pmat{0\\-x_3\\x_3\\0}+\pmat{x_4\\-2x_4\\0\\x_4}=x_3\pmat{0\\-1\\1\\0}+x_4\pmat{1\\-2\\0\\1}=-x_3\pmat{0\\1\\-1\\0}-x_4\pmat{-1\\2\\0\\-1}$
[/mm]
Da du jetzt [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] frei wählen kannst, kannst du den Lösungsraum, also den Kern deiner Matrix bzw. den Kern deiner Abbildung als Menge aller Linearkombinationen der beiden Vektoren, die dort ganz am ende Stehen, interpretieren, also als Spann der beiden Vektoren, und genau das steht doch weiter unten.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
LG
Kroni
>
> Ich hoffe mir kann jemand verständlich erklären wie ich zur
> folgenden lösung komme, bzw wie generell aus obiger
> Abbildung der Kern berechnet wird:
>
> Kern = span
> [mm]\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{Bmatrix}[/mm]
>
> Vielen dank schon einmal im voraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 05.04.2008 | | Autor: | winbm |
Also soweit erstmal vielen Dank für die Antwort.
Aber wie ziehe ich die Summen denn auseinander?
Irgendwie blicke ich da noch nicht ganz hinter.
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> Also soweit erstmal vielen Dank für die Antwort.
> Aber wie ziehe ich die Summen denn auseinander?
> Irgendwie blicke ich da noch nicht ganz hinter.
Hallo,
das hat Kroni Dir doch in Einzelschritten vorgerechnet.
Ich möchte es jetzt nicht nochmal aufschreiben. Vielleicht kannst Du ja genau sagen, welchen Schritt Du nicht verstehst.
Noch kleine Hinweise zum Aufwärmen:
[mm] \vektor{5 \\ 2}=\vektor{5 \\ 0}+\vektor{0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vektor{5 \\ 2}=\vektor{4 \\ 4}+\vektor{1 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ t}=\vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ t}=\vektor{1 \\ 0}+t\vektor{0 \\1}
[/mm]
[mm] \vektor{1+s +2t\\ t+5}=\vektor{1 \\ 5}+\vektor{s+2t \\ t}=\vektor{1 \\ 5}+\vektor{s \\ 0}+\vektor{2t \\t}=\vektor{1 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 0}+t\vektor{2 \\1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 08.04.2008 | | Autor: | winbm |
Vielen Dank erst mal für die Mühen, meine Mathematikkenntnisse sind nur leider nicht sehr ausgeprägt  .
$ [mm] \vec{x}=\pmat{x_4\\-x_3-2x_4\\x_3\\x_4} [/mm] $
Also bis hierhin habe ich das jetzt verstanden, aber der folgende Schritt ist mir nun nicht ganz klar:
$ [mm] \vec{x}=\pmat{0\\-x_3\\x_3\\0}+\pmat{x_4\\-2x_4\\0\\x_4}=x_3\pmat{0\\-1\\1\\0}+x_4\pmat{1\\-2\\0\\1}=-x_3\pmat{0\\1\\-1\\0}-x_4\pmat{-1\\2\\0\\-1} [/mm] $
Woher weiß ich zum Beispiel das [mm] -x_3 [/mm] + [mm] (-2x_4) [/mm] = -1 ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 10.04.2008 | | Autor: | winbm |
Ja, perfekt, jetzt konnte ich das auch nachvollziehen.
Kann ich das jetzt auch als anleitung für sämtliche Aufgaben nehmen?
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> Ja, perfekt, jetzt konnte ich das auch nachvollziehen.
> Kann ich das jetzt auch als anleitung für sämtliche
> Aufgaben nehmen?
Hallo,
für "sämtliche Aufgaben" würde ich nicht sagen...
Aber die Kerne sämtlicher Matrizen kannst Du so berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Mel7 |
Hallo,
hätte da mal noch eine Frage zu der Aufgabe:
Wenn ich nun die Dimension des Kernes berechnen sollte, kann ich die doch direkt aus der umgeformten Matrix ablesen:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] oder?
Kroni hat ja zuvor umschrieben, dass man sich für die 4. nicht vorhandene Zeile quasi 4 Nullen denken könnte; kann man dann sagen, dass in diesem Fall die Anzahl der Zeilen die nur Nullen enthalten, der Anzahl der Dimension des Kernes entspricht? Also deswegen dim(Kern)=2?
Würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann...hab da nämlich 2 Aufgaben aus Klausuren zu diesem Thema, die mich momentan etwas verwirren
Vielen Dank schon mal im Voraus
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> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
> oder?
> Kroni hat ja zuvor umschrieben, dass man sich für die 4.
> nicht vorhandene Zeile quasi 4 Nullen denken könnte; kann
> man dann sagen, dass in diesem Fall die Anzahl der Zeilen
> die nur Nullen enthalten, der Anzahl der Dimension des
> Kernes entspricht?
Hallo,
.
Ja, so ist es. Du kannst Dir die in Zeilenstufenform gebrachte Matrix (!) im Geist zu einer quadratischen ergänzen, und die Nullzeilen geben Dir dann die Dimension des Kerns an.
Der Kern dieser Matrix hätte die Dimension 1:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 5
\end{pmatrix} [/mm]
Der Kern dieser Matrix hätte die Dimension 1:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Mel7 |
Dankeschön, das hat mich auf jeden Fall schon mal einen Schritt weiter gebracht. Hab aber immernoch ein paar Schwierigkeiten:
Wenn ich nun die folgende Matrix habe:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 2\\
2 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
und will wieder die Dimension des Kernes und zusätzlich die Basis des Kerns bestimmen; dann kann ich mir ja für die 3. und 4. Zeile wieder nur Nullen denken,also hab ich die Dimension =2,weiterhin könnte ich doch [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] wieder frei wählen,deswegen wäre ich nun so wie Kroni das beschrieben hat, so vorgegangen, dass ich die 2 Formeln jeweils nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auflöse und dies dann in einen Lösungsvektor verpacke,welchen ich dann auseinander ziehen könnte und somit eine Basis des Kerns darstellen könnte. Dies funktioniert bei mir aber nicht (selbst wenn es funktioniert ist es wesentlich komplizierter als das folgende) und in der Übung wurden beide Formeln nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] aufgelöst, da [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] linear abhängig wären. Woher weiß ich dann (auch für andere Aufgaben) nach was ich nun am Besten auflösen muss?
Und wenn ich nun zum Bsp eine Matrix hätte bei der sich für den Kern nicht der Nullvektor und keine Zeile mit nur Nullen ergibt, wie gehe ich dann vor? Geht das überhaupt oder sind es eigentlich immer nur diese 2 Möglichkeiten?Hab da scheinbar einen Denkfehler, aber komme nicht drauf!!
Stimmt mein Ergebnis zur folgenden Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
Dimension des Kerns = 2
Basis des Kerns:
[mm] (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})
[/mm]
Und ist der Kern dann auch das Selbe wie die Basis des Kerns?
Zu viele Fragen auf einmal, ich weiß, aber wäre echt dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Mel7 |
Sorry, die Mitteilung sollte eigentlich eine Frage sein, hab ich vergessen anzugeben
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 So 15.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Dankeschön, das hat mich auf jeden Fall schon mal einen
> Schritt weiter gebracht. Hab aber immernoch ein paar
> Schwierigkeiten:
> Wenn ich nun die folgende Matrix habe:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 2\\
2 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und will wieder die Dimension des Kernes und zusätzlich die
> Basis des Kerns bestimmen; dann kann ich mir ja für die 3.
> und 4. Zeile wieder nur Nullen denken,also hab ich die
> Dimension =2,
In diesem Beispiel stimmt das. So pauschal kannst du es aber nicht sagen! Es kann doch durchaus sein, dass du eine Matrix hast wie [mm] $\pmat{1 & 2& 3& 4 \\ 2 & 4 & 6&8}$ [/mm]
Jetzt würdest du sagen: Gut, ich denke mir zwei Nullzeilen, also ist die Dimension des Kerns gleich 2. In diesem Fall wären die beiden Zeilen aber linear abhängig, d.h. die Dimension des Kerns der Matrix wäre 3!
Allgemein gilt: Wenn man in den [mm] $\IR^n$ [/mm] abbildet, dann gilt:
n=rk(A)+dim(ker(A))
In deinem Fall ist n=2. rk(A)=2 (weil die Zeilen lin. unabhängig) => dim(ker(A))=2.
In meiner Beispielmatrix gilt: rk(A)=1 => dim(ker(A))=3
>weiterhin könnte ich doch [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] wieder
> frei wählen,deswegen wäre ich nun so wie Kroni das
> beschrieben hat, so vorgegangen, dass ich die 2 Formeln
> jeweils nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] auflöse und dies dann in einen
> Lösungsvektor verpacke,welchen ich dann auseinander ziehen
> könnte und somit eine Basis des Kerns darstellen könnte.
Korrekt. Dafür musst du aber deine Matrix noch in eine schönere Form packen (durch elementare Zeilenumformungen), so dass [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nur noch von [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] abhängig sind.
> Dies funktioniert bei mir aber nicht (selbst wenn es
Was hast du denn gerechnet?
> funktioniert ist es wesentlich komplizierter als das
> folgende) und in der Übung wurden beide Formeln nach [mm]x_3[/mm]
> und [mm]x_4[/mm] aufgelöst, da [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] linear abhängig wären.
> Woher weiß ich dann (auch für andere Aufgaben) nach was ich
> nun am Besten auflösen muss?
Nun, das kommt drauf an. Du siehst, dass du zwei Pivot-Elemente in deiner Matrix stehen hast. Jetzt kann man entweder immer nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auflösen, oder eben bei deiner Matrix sieht man, dass man auch nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] auflösen kann. Du weist ja nur, dass du zwei Variablen hast, die lin. unabhängig sind, d.h. du kannst immer zwei Variablen durch die beiden anderen Ausdrücken.
>
> Und wenn ich nun zum Bsp eine Matrix hätte bei der sich für
> den Kern nicht der Nullvektor und keine Zeile mit nur
> Nullen ergibt, wie gehe ich dann vor? Geht das überhaupt
> oder sind es eigentlich immer nur diese 2 Möglichkeiten?Hab
> da scheinbar einen Denkfehler, aber komme nicht drauf!!
Du meinst also, wenn du die Matrix auf Zeilenstufenform bringst, und die Matrix dann vollen Rang hat? Dann besteht der Kern nur aus der trivialen Lösung 0.
>
> Stimmt mein Ergebnis zur folgenden Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dimension des Kerns = 2
> Basis des Kerns:
> [mm](\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})[/mm]
>
> Und ist der Kern dann auch das Selbe wie die Basis des
> Kerns?
Die Rechnung passt.
Die Basis des Kerns sind die Vektoren, die den Kern aufspannen. Der Kern der Matrix sind aber alle Vektoren, die man aus der Linearkombination der Basis erzeugen kann, also zimelich viele. Damit man nicht alle hinschreiben muss, berechnet man ja gerade eine Basis des Kerns.
>
> Zu viele Fragen auf einmal, ich weiß, aber wäre echt
> dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte
>
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 15.06.2008 | | Autor: | Mel7 |
Das war schon mal sehr aufschlussreich, vielen Dank
Noch zu dem Bsp:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8
\end{pmatrix} [/mm]
hab mich vielleicht vorher schlecht ausgedrückt; ich meinte wenn man schon alle möglichen Umformungen vorgenommen hat; hier könnte ich ja dann noch die 1.- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x die 2. Zeile durchführen und hätte dann auch wieder 3 Zeilen mit nur Nullen, also Dimension =3
Also versuch ich es erneut:
Wenn ich alle Umformungen vorgenommen hab, die Zeilen für die ich dann nur Nullen heausbekomme ist immer die Dimension des Kernes oder ich hab eine Matrix mit vollem Rang und somit ist die Dimension = 0, richtig?
Ansonsten hab ich es jetzt glaube ich verstanden, also dankeschön
LG
Mel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 15.06.2008 | | Autor: | Kroni |
> Das war schon mal sehr aufschlussreich, vielen Dank
> Noch zu dem Bsp:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 6 & 8
\end{pmatrix}[/mm]
> hab mich vielleicht vorher schlecht ausgedrückt; ich meinte
> wenn man schon alle möglichen Umformungen vorgenommen hat;
> hier könnte ich ja dann noch die 1.- [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x die 2.
> Zeile durchführen und hätte dann auch wieder 3 Zeilen mit
> nur Nullen, also Dimension =3
> Also versuch ich es erneut:
> Wenn ich alle Umformungen vorgenommen hab, die Zeilen für
> die ich dann nur Nullen heausbekomme ist immer die
> Dimension des Kernes oder ich hab eine Matrix mit vollem
> Rang und somit ist die Dimension = 0, richtig?
Hi,
ja.
> Ansonsten hab ich es jetzt glaube ich verstanden, also
> dankeschön
> LG
> Mel
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 15.06.2008 | | Autor: | Mel7 |
Nochmals danke, hat mir echt geholfen
LG Mel
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
