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Kern, Selbstadjungierte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Sa 27.10.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei [mm] \phi: [/mm] V->W eine lineare ABbildung zwischen endlich dimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorräumen.
Ich möchte zeigen:
[mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] ker(\phi^{\*} \phi) [/mm]



Hallo,
Diese Aussge würde ich für einen Beweis brauchen. Ich weiß leider nicht ob sie so überhaupt gilt.
Vlt weiß wer mehr darüber ;))

Die eine Richtung ist klar.
v [mm] \in ker(\phi) [/mm] , dh [mm] \phi(v)=0 [/mm]
[mm] \phi^{\*} \phi [/mm] (v) = [mm] \phi^{\*} [/mm] (0)=0 -> v [mm] \in ker(\phi^{\*} \phi) [/mm]

v [mm] \in ker(\phi^{\*} \phi) [/mm]  , dh [mm] \phi^{\*} \phi [/mm] (v)=0
ZuZeigen v [mm] \in ker(\phi) [/mm] <=> [mm] \phi(v)=0 [/mm]
Da ist mir kein Beweis eingefallen

Ich hab vergessen, das in den Vorrausetzungen noch wäre das [mm] \phi [/mm] injektiv ist, ist das notwendig?
Liebe Grüße

        
Bezug
Kern, Selbstadjungierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 So 28.10.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]\phi:[/mm] V->W eine lineare ABbildung zwischen endlich
> dimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorräumen.
>  Ich möchte zeigen:
>  [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]ker(\phi^{\*} \phi)[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  Diese Aussge würde ich für einen Beweis brauchen. Ich
> weiß leider nicht ob sie so überhaupt gilt.
>  Vlt weiß wer mehr darüber ;))
>  
> Die eine Richtung ist klar.
>  v [mm]\in ker(\phi)[/mm] , dh [mm]\phi(v)=0[/mm]
>  [mm]\phi^{\*} \phi[/mm] (v) = [mm]\phi^{\*}[/mm] (0)=0 -> v [mm]\in ker(\phi^{\*} \phi)[/mm]

>
> v [mm]\in ker(\phi^{\*} \phi)[/mm]  , dh [mm]\phi^{\*} \phi[/mm] (v)=0
>  ZuZeigen v [mm]\in ker(\phi)[/mm] <=> [mm]\phi(v)=0[/mm]

>  Da ist mir kein Beweis eingefallen
>  
> Ich hab vergessen, das in den Vorrausetzungen noch wäre
> das [mm]\phi[/mm] injektiv ist, ist das notwendig?

Nein.

Ich bez. mit <*,*> das Innenprodukt auf V.

Zeige: aus [mm] \phi^{\*} \phi(v)=0 [/mm]  folgt [mm] <\phi(v), \phi(v)> [/mm] =0.

FRED


>  Liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Kern, Selbstadjungierte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 28.10.2012
Autor: sissile

Hallo,
danke für den Post

> Zeige: aus $ [mm] \phi^{*} \phi=0 [/mm] $  folgt $ [mm] <\phi(v), \phi(v)> [/mm] $ =0.

[mm] <\phi(v), \phi(v)> [/mm] = [mm] <\phi^{\*} \phi(v), [/mm] v> =<0,v>=0
Wie kann ich nun aber schon schließen, dass v [mm] \in ker(\phi) [/mm] ist?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Kern, Selbstadjungierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 So 28.10.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  danke für den Post
>  > Zeige: aus [mm]\phi^{*} \phi=0[/mm]  folgt [mm]<\phi(v), \phi(v)>[/mm] =0.

>
> [mm]<\phi(v), \phi(v)>[/mm] = [mm]<\phi^{\*} \phi(v),[/mm] v> =<0,v>=0
>  Wie kann ich nun aber schon schließen, dass v [mm]\in ker(\phi)[/mm]
> ist?

Ist w [mm] \in [/mm] V und <w,w>=0 , was folgt denn dann für w ????

FRED

>  
> Liebe Grüße


Bezug
                                
Bezug
Kern, Selbstadjungierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 So 28.10.2012
Autor: sissile

Das w=0 sein muss.

Danke ;)

Liebe grüße

Bezug
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