Kern, Bild einer LinAbbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 11.09.2009 | | Autor: | irwin |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }: \begin{cases} \IR^2 \to \IR^2
\\ \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto \vektor{ax_1 + bx_2\\cx_1 + dx_2} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen sie eine reele 2x2-Matrix so das gilt:
Der Vektor [mm] \vektor{2\\1}ist [/mm] im Kern der zur Matrix gehörenden linearen Abbildung und [mm] \vektor{-3\\0} [/mm] ist das Bild von [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] |
Wie bestimme ich diese Matrix, welche meine Lineare Abbildung vom [mm] \IR^2in [/mm] den [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt?
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Gesucht ist also eine lineare Abbildung f für die gilt:
[mm] f(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Man muss daher a, b, c, d so bestimmen, dass gilt:
[mm] \begin{pmatrix} 2a + b \\ 2c + d \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und
[mm] \begin{pmatrix} a - 2b \\ c - 2d \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 16.09.2009 | | Autor: | irwin |
Gibt es für die Lösung des Problems einen Lösungsalgorithmus oder ist die Lösung nur durch die relativ umständliche Lösung der beiden Gleichungssysteme möglich?
2a+b=0
a-3b=-3
2c+d=0
c-2d=0
=> [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{-3}{5} & \bruch{6}{5} \\ 0 & 0 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es für die Lösung des Problems einen
> Lösungsalgorithmus oder ist die Lösung nur durch die
> relativ umständliche Lösung der beiden Gleichungssysteme
> möglich?
>
> 2a+b=0
> a-3b=-3
>
> 2c+d=0
> c-2d=0
Diese beiden Gleichungssysteme sind doch ganz simpel !
>
> => [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{-3}{5} & \bruch{6}{5} \\ 0 & 0 }[/mm]
Richtig
FRED
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