Kern(A) und Image(A) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -4 } [/mm] und v = [mm] \pmat{5 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von Ker(A), und zeugen Sie, dass v [mm] \in [/mm] Im(A) ist. (Hinweis: Beides kann man in einem "Rutsch" machen) |
Ich habe also die Matrix A gegeben und den Kern sowie das Bild dieser bestimmt:
Ker(A) = Ax = 0
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -4 & 0}
[/mm]
III. - I.
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
3-mal II. - I.
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
I. - II.
[mm] \pmat{ 3 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Das heißt, dass der Kern(A) = [mm] \pmat{3 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Die Basis des Kerns ist [mm] <{\pmat{3 \\ 0 \\ 0} , \pmat{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{3 \\ -1 \\ -1}}>
[/mm]
Nun zum Bild(A):
[mm] A^T [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & -4 } [/mm]
Letzte Zeile ist Linearkombination aus I. und II. daher ergibt sich:
= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Im(A) = [mm] \lambda_1 \cdot \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
v = [mm] \pmat{5 \\ 3 \\ 5} [/mm] = 5 [mm] \cdot \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + 3 [mm] \cot \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}. [/mm] Daher ist v [mm] \in [/mm] Im(A)
Soweit habe ich alles verstanden, aber was meint der Aufgabenstellungshinweis "in einem "Rutsch"" ? Ich sehe keinen ersichtlichen kürzeren Weg...
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Hallo stekoe2000,
> Seien A = [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -4 }[/mm]
> und v = [mm]\pmat{5 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von Ker(A), und zeugen Sie, dass v
> [mm]\in[/mm] Im(A) ist. (Hinweis: Beides kann man in einem "Rutsch"
> machen)
> Ich habe also die Matrix A gegeben und den Kern sowie das
> Bild dieser bestimmt:
>
> Ker(A) = Ax = 0
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -4 & 0}[/mm]
>
> III. - I.
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> 3-mal II. - I.
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> I. - II.
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das heißt, dass der Kern(A) = [mm]\pmat{3 \\ -1 \\ -1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Kern ist ein Vektorraum, kein Vektor!
> Die
> Basis des Kerns ist [mm]<{\pmat{3 \\ 0 \\ 0} , \pmat{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{3 \\ -1 \\ -1}}>[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Der Spann, der dasteht, ist ein Vektorraum, keine Basis
Außerdem würde das bedeuten, dass der Kern der gesamte $\IR^3$ ist, da 3-dimensional ...$
Mit der obigen Matrix in ZSF hast du nun 1 Nullzeile und 2 Nicht-Nullzeilen, also $rang(A)=2=dim(Bild(A))$
Damit und mit dem Dimensionssatz ist $dim(Kern(A)=3-2=1$
Mit der einen Nullzeile und den verbleibenden 2 Zeilen hast du 2 Gleichungen ion 3 Unbekannten, also einen frei wählbaren Parameter.
Setze $x_3:=t$ mit $t}in\IR$ und berechne aus den 2 Gleichungen die Werte für $x_2,x_1$ in Abh. von t
Dann hast du deinen Kern
>
> Nun zum Bild(A):
>
> [mm]A^T[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & -4 }[/mm]
>
> Letzte Zeile ist Linearkombination aus I. und II. daher
> ergibt sich:
>
> = [mm]\pmat{ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Im(A) = [mm]\lambda_1 \cdot \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Moment mal, es ist doch so, dass die Spalten(vektoren) von A das $Bild(A)$ aufspannen.
Mit dem Rang der Matrix = dim(Bild(A)) weißt du, dass die dim(Bild(A))=2 ist.
Wähle dir also 2 linear unabh. Spaltenvektoren aus der Ausgangsmatrix A aus (zB. 1. und 2. Spalte) und du hast eine Basis des Bildes(A)
>
> v = [mm]\pmat{5 \\ 3 \\ 5}[/mm] = 5 [mm]\cdot \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + 3
> [mm]\cot \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}.[/mm] Daher ist v [mm]\in[/mm] Im(A)
>
>
> Soweit habe ich alles verstanden, aber was meint der
> Aufgabenstellungshinweis "in einem "Rutsch"" ? Ich sehe
> keinen ersichtlichen kürzeren Weg...
Du hättest wohl den Vektor v als "rechte" Seite (Spalte) in die Matrix schreiben können, die du für die Bestimmung des Kernes genommen hast
LG
schachuzipus
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D.h., dass die Basis des Kerns wohl eher [mm] <{\pmat{1 \\ 0 \\ 0} , \pmat{0 \\ 1 \\ 0}}> [/mm] ist?
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Hallo,
> D.h., dass die Basis des Kerns wohl eher [mm]<{\pmat{1 \\ 0 \\ 0} , \pmat{0 \\ 1 \\ 0}}>[/mm]
> ist?
Nochmal, das ist keine Basis, was du da aufschreibst; was ist eine Basis??
Und wie vereinbart sich das mit dem, was ich oben geschrieben habe?
Welche Dimension hat dein Spann hier?
LG
schachuzipus
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Letzter Versuch:
$ A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -4 } [/mm] $
Im(A) = [mm] <\pmat{3 \\ 1 \\ 3},\pmat{1 \\ 1 \\ 1},\pmat{-4 \\ -2 \\ -4}> [/mm] = [mm] <\pmat{ 3 \\ 1 \\ 3}, \pmat{1\\1\\1}> [/mm] =:
der Vektor v ist [mm] \in [/mm] Im(A), da 1 [mm] \cdot \pmat{ 3 \\ 1 \\ 3} [/mm] + 2 [mm] \cdot \pmat{1\\1\\1} [/mm] = [mm] \pmat{5\\3\\5}
[/mm]
Kern(A) habe ich ja vorhin schon in TNF gebracht:
$ A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Basis = [mm] <\pmat{1 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
[dim(Kern(A)) + dim(Im(A)) = 3 = n]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Mo 26.01.2009 | | Autor: | stekoe2000 |
Super! Danke für die Geduld!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
