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| Aufgabe | Es sei die Abb.
[mm] K=\IF_{2}, V,W=\IF_{4}, [/mm] f: V->W, [mm] f(x):=x^2
[/mm]
Bestimmen Sie das Bild der Abb. |
Hallo. Der [mm] \IF_{4} [/mm] Körper ist klar, das ist der Körper mit den Elementen (0,1,a,b). Aber wie bestimmt man das Bild, wenn ich jetzt so eine Fkt. habe. Das Bild soll nach Lösung sein: Im=(0,1,a,b). ich habe so angefangen.
[mm] Im(f)={x\in W| Es gibt ein y \in V: f(y)=x}
[/mm]
=> [mm] Im(f)={x\in W| Es gibt ein y \in V: y^2=x}
[/mm]
wo weiter komme ich leider nicht, um auf das gewünscht ergebnis zu kommen.
Gruß
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Hallo Steve,
> Es sei die Abb.
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> [mm]K=\IF_{2}, V,W=\IF_{4},[/mm] f: V->W, [mm]f(x):=x^2[/mm]
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> Bestimmen Sie das Bild der Abb.
> Hallo. Der [mm]\IF_{4}[/mm] Körper ist klar, das ist der Körper mit
> den Elementen (0,1,a,b). Aber wie bestimmt man das Bild,
> wenn ich jetzt so eine Fkt. habe. Das Bild soll nach Lösung
> sein: Im=(0,1,a,b). ich habe so angefangen.
>
> [mm]Im(f)={x\in W| Es gibt ein y \in V: f(y)=x}[/mm]
>
> => [mm]Im(f)={x\in W| Es gibt ein y \in V: y^2=x}[/mm]
>
> wo weiter komme ich leider nicht, um auf das gewünscht
> ergebnis zu kommen.
>
> Gruß
[mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] enthält doch nur 4 Elemente. [mm] $\mathbb{F}_4=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$
[/mm]
Bestimme doch zu jedem Element das Bild:
[mm] $f(\overline{0})=\overline{0}^2=\overline{0}$
[/mm]
[mm] $f(\overline{1})=\overline{1}^2=\overline{1}$
[/mm]
[mm] $f(\overline{2})=\overline{2}^2=\overline{4}=\overline{0}$
[/mm]
[mm] $f(\overline{3})=\overline{3}^2=\overline{9}=\overline{1}$
[/mm]
Hier kannst du doch direkt das Bild und den Kern von f ablesen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Mi 26.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
Tut mir leid, deine Lösung kann ich nicht so ganz nachvollziehen
ich weiß auch ersters bei deinem [mm] \mathbb{F}_4=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\} [/mm] nicht genau, ob das gleiche wie meiner ist, denn wir hatten das ja, wie du siehst mit 0,1,a,b, ich weiß jetzt nicht genau, ob dass das gleich sein soll.
und zweitens versteh ich deine rechnung nicht so gut. wie kommst du z.B. auf dies hier.
[mm] (\overline{3})=\overline{3}^2=\overline{9}=\overline{1} [/mm] . wieso ist deine 9 auf einmal wieder 1?
ehrlich gesagt, versteh ich die Aufgabe immer noch nicht so.
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Hi,
dann sag doch mal, wie bei euch [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] definiert wurde.
Es ist im übrigen [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] auch kein Körper, da nicht nullteilerfrei - s. Bsp oben
Aber sag mal an, was ihr unter den Dingern versteht!
Damit wir nicht aneinander vorbei reden 
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:07 Mi 26.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
Also ich weiß jetzt nicht genau, wie ich hier eine tabelle erzeugen kann, deshalb ist bisschen schwierig, aber bei uns war es so, dass der [mm] F_4 [/mm] körper, und wir haben es auch körper genannt, ein körper ist mit den Elementen
(0,1,a,b) für addition und (1,a,b) für multiplikation, dann kann man sich so eine Verknüpfungstabelle aufstellen, die ich leider ja hier nicht erzeugen kann.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du musst keine verknüpfungstabelle aufstellen, es genügt ja auf grund der kommutativität der verknüpfung, wenn du das "untere dreieck" der verknüpfungstabelle angibst, also (da die addtition mit 0 klar ist), geügt für die addition:
1 + 1
1 + a
1 + b
a + a
a + b
und für die multiplikation
a*a
a*b
b*b
grüße
andreas
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ok, da haben wir sowas gemacht.
1 + 1 = 0
1 + a = b
1 + b = a
a + a = 0
a + b = 1
b + b = 0
a*a = a
a*b = 1
b*b = a
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> 1 + 1 = 0
> 1 + a = b
> 1 + b = a
> a + a = 0
> a + b = 1
> b + b = 0
das sieht gut aus.
> a*a = a
> a*b = 1
> b*b = a
das kann so nicht stimmen. es muss $a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \not= [/mm] a$ gelten!
nun wieder zu der ursprünglichen aufgabe: es ist ja [mm] $\textrm{im} [/mm] f = [mm] \{ x \in W: \exists y \in V: x = y^2 \}$. [/mm] um zu zeigen, dass [mm] $\textrm{im} [/mm] f = W$ musst du nun einfach zeigen, dass es zu jedem $x [mm] \in [/mm] W$ ein $y [mm] \in [/mm] V$ gibt mit [mm] $y^2 [/mm] = x$. zum beispiel für $x = 0 [mm] \in [/mm] W$ wähle $y = 0 [mm] \in [/mm] V$, dann ist $x = 0 = [mm] 0^2 [/mm] = [mm] x^2$, [/mm] also $f(y) = x$ und somit $y = 0 [mm] \in \textrm{im}f$. [/mm] das musst du jetzt noch genauso für die anderen drei elemente von $W$ machen. mach dir dazu klar, wo in der verknüpfungstabelle die quadrate stehen, dann solltest du schnell zum ziel kommen.
grüße
andreas
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:02 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
es ist [mm] $\mathbb{F}_4 \not= \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ [/mm] - letzterer hat ja nullteiler. man kann [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] etwa als [mm] $\left( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right) [/mm] [X] / [mm] (X^2 [/mm] + X + 1)$ gewinnen oder man stellt einfach die verknüpfungstafeln für den körper auf.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
wo habe ich behauptet, dass [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] ein Körper ist?
Bei uns - und soweit ich weiß ist es üblich, das synonym zu verwenden - wird [mm] $\mathbb{F}_m$ [/mm] abkürzend für [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] benutzt.
Hier in der Aufgabe scheint es mir doch so, dass mit [mm] $(V,+)=(W,+)=(\mathbb{F}_4,\oplus)$ [/mm] Vektorräume über dem Körper [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] gemeint sein sollen
Oder ich habe etwas total anderes gelesen
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:19 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
du nicht, aber der ursprüngliche fragesteller hat eben behauptet, dass [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] ein körper sei und ich wollte eben darauf hinweisen, dass dann [mm] $\mathbb{F}_4 \not= \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ [/mm] ist.
grüße
andreas
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:36 Mi 26.12.2007 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\mathbb{F}_4[/mm] enthält doch nur 4 Elemente.
> [mm]\mathbb{F}_4=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}[/mm]
Entgegen deiner Behauptung ist [m]\IF_q[/m] normalerweise ein Körper mit q Elementen. Das F kommt von "Field" bzw. "Galois Field". Der OP hat ja auch überhaupt nicht impliziert, dass er miz [m]\IZ_4[/m] rechnen würde.
Zur eigentlichen Aufgabe: Zeige einfach zwei Sachen: [m]x\mapsto x^2[/m] ist linear(!) und injektiv, also surjektiv. Damit zeigst du das sogar für alle [m]\IF_{2^n}[/m]! Im Generellen ist [m]x\mapsto x^p[/m] in einem [m]\IF_{p^n}[/m] bijektiv.
SEcki
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