K Teilkörper von L gdw... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei L ein Körper, sei K [mm] \subseteq [/mm] L mit [mm] 1\in [/mm] K.
Beh: K ist Teilkörper von L [mm] \gdw \forall x\not=0,y,z \in [/mm] K: [mm] x^{-1}(y-z) \in [/mm] K |
Moin!
Ich habe ja schon vorhin eine leichte Aufgabe hier reingestellt,die mich skeptisch macht... bei der hier siehts nicht andes aus.
Ist die Hinrichtung nicht trivial?
Und sieht es bei der Rückrichtung nicht ähnlich unkompliziert aus? Ich meine...:
Ich muss da doch nur noch zeigen, dass
a) 0 [mm] \in [/mm] K,
b) K additiv abgeschlossen
c) K multiplikativ abgeschlossen
ODER???
Gelte also [mm] \forall x\not=0,y,z \in [/mm] K: [mm] x^{-1}(y-z) \in [/mm] K.
a) Seien x,y,z [mm] \in [/mm] K mit [mm] x\not=0 [/mm] und y=z. Dann gilt: [mm] x^{-1}*0 \in [/mm] K, also [mm] 0\in [/mm] K
b) Seien x,y,z [mm] \in [/mm] K, mit x=1. Es folgt: y-z [mm] \in [/mm] K.
Ist die Schwierigkeit in der Multiplikation verborgen? (Hab ich noch nicht überlegt...) Ich glaube einfach nicht, dass mein Prof mir zwei leichte Aufgaben auf einem Zettel stellt, also gehe ich lieber davon aus, dass ich irgendwelche Tücken übersehen habe... Kann mir wer mit meinem (zugegebenermaßen etwas ungewöhnlichen ;) ) Problem helfen? Wäre dankbar,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 09.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei L ein Körper, sei K [mm]\subseteq[/mm] L mit [mm]1\in[/mm] K.
> Beh: K ist Teilkörper von L [mm]\gdw \forall x\not=0,y,z \in[/mm]
> K: [mm]x^{-1}(y-z) \in[/mm] K
> Moin!
> Ich habe ja schon vorhin eine leichte Aufgabe hier
> reingestellt,die mich skeptisch macht... bei der hier
> siehts nicht andes aus.
> Ist die Hinrichtung nicht trivial?
Ja.
> Und sieht es bei der Rückrichtung nicht ähnlich
> unkompliziert aus? Ich meine...:
> Ich muss da doch nur noch zeigen, dass
> a) 0 [mm]\in[/mm] K,
> b) K additiv abgeschlossen
> c) K multiplikativ abgeschlossen
> ODER???
Genau. Und jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ in $K$ hat ein Inverses.
> Gelte also [mm]\forall x\not=0,y,z \in[/mm] K: [mm]x^{-1}(y-z) \in[/mm] K.
> a) Seien x,y,z [mm]\in[/mm] K mit [mm]x\not=0[/mm] und y=z. Dann gilt:
> [mm]x^{-1}*0 \in[/mm] K, also [mm]0\in[/mm] K
Gibt es denn solche $x, y, z$?
> b) Seien x,y,z [mm]\in[/mm] K, mit x=1. Es folgt: y-z [mm]\in[/mm] K.
> Ist die Schwierigkeit in der Multiplikation verborgen?
Nein, die ist auch einfach. Ebenso die Inversen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei L ein Körper, sei K [mm] \subseteq [/mm] L mit [mm] 1\in [/mm] K.
Beh: K ist Teilkörper von L [mm] \gdw \forall x\not=0,y,z \in [/mm] K: [mm] x^{-1}(y-z) \in [/mm] K |
Danke für die schnelle Antwort, auch wenn ich meine Skepsis noch nicht verloren habe... Aber ich finde den Haken noch ;)
> > a) Seien x,y,z [mm]\in[/mm] K mit [mm]x\not=0[/mm] und y=z. Dann gilt:
> > [mm]x^{-1}*0 \in[/mm] K, also [mm]0\in[/mm] K
>
> Gibt es denn solche [mm]x, y, z[/mm]?
Ähem... natürlich, oder? K ist doch nicht leer, zumindest die eins ist drin. Ich hätte doch statt y und z auch 1 nehmen können, also [mm] x^{-1}(1-1)... [/mm] oder?
> > Ist die Schwierigkeit in der Multiplikation verborgen?
> Nein, die ist auch einfach. Ebenso die Inversen.
also.. mal sehen: die inversen:
Da 1 [mm] \in [/mm] K und die add. abgeschlossenheit bereits gezeigt ist, ex y,z mit y-z =1, richtig?
Und dann finde ich zu x [mm] \in [/mm] K immer ein [mm] x^{-1}*1 \in [/mm] K
und die Multiplikation:
hmmm... habe gerade auf Anhieb nicht so die erleuchtung, da das ganze nur für ein [mm] a\in [/mm] K und ein [mm] x\in [/mm] K\ {0} offensichtlich ist...
Muss ich etwa doch noch nachdenken?;)
Gruß San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das ist soweit alles richtig.
Du willst ja jetzt noch die Abgeschlossenheit der Multiplikation in [mm] $K\setminus \{0\}$ [/mm] zeigen.
Seien also $x,y [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}$. [/mm] Dann existiert nach dem bereits Gesagten: [mm] $x^{-1} \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}$, [/mm] und daher gilt nach Voraussetzung:
$xy = [mm] (x^{-1})^{-1}(y-0) \in [/mm] K$,
und damit sogar $xy [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] wegen der Nullteilerfreiheit in $L$,
was zu zeigen blieb.
Liebe Grüße
Stefan
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