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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 01.02.2006 | | Autor: | JokerX |
| Aufgabe | [mm] $(K^{n},+,*)$ [/mm] sei ein $K$-Vektorraum und [mm] $(v_{1},\ldots,v_{n})$ [/mm] sei ein System von Vektoren aus [mm] $(K^{n},+,*)$.
[/mm]
Zeigen Sie: Das System [mm] $(v_{1},\ldots,v_{n})$ [/mm] ist genau dann linear abhängig, wenn Systeme [mm] $(v_{1},\ldots,v_{r})$ [/mm] und [mm] $(v_{r+1},\ldots,v_{n})$ [/mm] linear unabhängig sind und [mm] $Lin(v_{1},\ldots,v_{r}) \cap Lin(v_{r+1},\ldots,v_{n})=\{0\}$ [/mm] für alle $1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] n-1$ |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe zu lösen, weiss aber nicht richtig wie ich das Ganze angehen soll. Vielleicht kann mir einer von euch einen Ansatz zur Lösung geben.
Grüsse,
JokerX
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Hallo und guten Morgen,
es sollte doch sicher in der Aufgabe heissen: [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] sind lin. unabhaengig gdw .....,
oder?
Dies annehmend:
[mm] (\Rightarrow) [/mm] Also [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] seien lin. unabh., zu zeigen ist, dass fuer alle
[mm] r\in\{1,\ldots n-1\} [/mm] die obigen Bedingungen gelten.
Aber Teilmengen lin. unabh. Mengen sind ja lin. unabh. also bleibt zu begruenden:
[mm] Lin(v_1,\ldots v_r)\cap Lin(v_{r+1},\ldots [/mm] , [mm] v_n)=\{0\}.
[/mm]
Annahme nicht, dann gaebe es Koeeffizienten [mm] \lambda_i, \mu_j [/mm] mit
[mm] \lambda_1v_1+\ldots +\lambda_rv_r=\mu_{r+1}v_{r+1}+\ldots +\mu_nv_n
[/mm]
und nicht alle [mm] \lambda_i [/mm] =0 und nicht alle [mm] \mu_j=0.
[/mm]
Dies wuerde aber die Lineare Unabh. von [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] verletzen.
[mm] (\Leftarrow)
[/mm]
Angenommen, [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] doch lin. abh., dann gibt es Koeff. [mm] \lambda_i, [/mm] nicht alle gleich 0 mit
[mm] \sum_{i=1}^n\lambda_iv_i\:\:=\:\:0 \:\: [/mm]
(der Nullvektor). Also:
Sei [mm] \lambda_j\neq [/mm] 0, nehmen wir mal j>1 an, dann:
[mm] \sum_{i=1}^{j-1}\lambda_iv_i [/mm] = [mm] \sum_{i=j}^n(-\lambda_i)\cdot v_i
[/mm]
aber dann muesste wg. der [mm] ''\cap''-Bedingung
[/mm]
[mm] \sum_{i=j}^n(-\lambda_i)v_i=0 [/mm] gelten, woras wg. der Lin. Unabh. dieser Vektoren
insbesondere [mm] \lambda_j=0 [/mm] folgen wuerde - Widerspruch.
Der Fall j=1 geht dann aehnlich.
Gruss,
Mathias
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