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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Man beweise,dass [mm] End_{K}(V) [/mm] eine K-Algebra ist mit Komposition von Endomorphismen als Multiplikation und mit [mm] id_{v} [/mm] als Einselement. |
Guten Abend^^
Ich ebschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,hab aber zunächst eine Verständnisfrage.
Also ich weiß zunächst, dass [mm] End_{K}(V) =\{f:V-->V| f ist K-linear \}.
[/mm]
Und die Definition der K-Algebra geht so:
Sei V ein K-Vektorraum, der auch Ring ist, wobei die beiden Additionen überinestimmen. V heißt K-Algebra, wenn r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v) für alle r [mm] \in [/mm] K, u,v [mm] \in [/mm] V.
Was ich an dieser Definition nicht verstehe, ist, was mit den beiden Additionen gemeint ist. Welche Additionen denn?
Und ich muss jetzt zeigen,dass [mm] \{f:V-->V| f ist K-linear \} [/mm] eine K-Algebra ist, dass also für u,v [mm] \in [/mm] V, r [mm] \in [/mm] K gilt: r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v), hier ist doch die ganz normale Multiplikation gemeint oder?
In der Aufgabe steht noch "...mit Komposition von Endomorphismen als Multiplikation und mit [mm] id_{v} [/mm] als Einselement".
Diesen Teil der Aufgabe verstehe ich nicht. Welche Multiplikation ist hier gemeint? Und mit [mm] id_{v} [/mm] als Einselement ist doch das neutrale Element bzgl. der Multiplikation gemeint oder? Das heißt doch, dass ich ein Elemtn v aus V nehme, dann muss gelten: [mm] v*id_{v}=v [/mm] ?
Verstehe ich die Aufgabe bis hier hin richtig und kann mir jemand die Teile erklären,die ich nicht verstehe?
Vielen Dank
lg
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> Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Man beweise,dass
> [mm]End_{K}(V)[/mm] eine K-Algebra ist mit Komposition von
> Endomorphismen als Multiplikation und mit [mm]id_{v}[/mm] als
> Einselement.
> Guten Abend^^
>
> Ich ebschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,hab aber
> zunächst eine Verständnisfrage.
>
> Also ich weiß zunächst, dass [mm]End_{K}(V) =\{f:V-->V| f ist K-linear \}.[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Und die Definition der K-Algebra geht so:
>
> Sei V ein K-Vektorraum, der auch Ring ist, wobei die beiden
> Additionen überinestimmen. V heißt K-Algebra, wenn
> r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v) für alle r [mm]\in[/mm] K, u,v [mm]\in[/mm] V.
>
> Was ich an dieser Definition nicht verstehe, ist, was mit
> den beiden Additionen gemeint ist. Welche Additionen denn?
Die Addition im Vektorraum und im Ring. Sie sollen gleich sein.
>
> Und ich muss jetzt zeigen,dass [mm]\{f:V-->V| f ist K-linear \}[/mm]
> eine K-Algebra ist, dass also für u,v [mm]\in[/mm] V, r [mm]\in[/mm] K gilt:
> r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v), hier ist doch die ganz normale
> Multiplikation gemeint oder?
Kommt drauf an, was Du unter "normal" verstehst.
Wir haben es hier mit zwei Multiplikationen zu tun:
im K_Vektorraum [mm] End_K(V) [/mm] hast Du die Multiplikation von Vektoren (=Endomorphismen) mit Körperelementen.
Im Ring End(V) hast Du eine weitere Multiplikation, welche zwei Endomorphismen zu einem neuen Endomorphismus verknüpft.
Für eine K-Algebra müssen die beiden Multiplikationene sich vertragen.
Du könntest Dir für Dich mal überlegen, wo oben die Multiplikation im VR steht und wo die des Ringes.
>
> In der Aufgabe steht noch "...mit Komposition von
> Endomorphismen als Multiplikation und mit [mm]id_{v}[/mm] als
> Einselement".
>
> Diesen Teil der Aufgabe verstehe ich nicht. Welche
> Multiplikation ist hier gemeint?
Die Hintereinanderausführung/Komposition von Endomorphismen, [mm] \circ.
[/mm]
> Und mit [mm]id_{v}[/mm] als
> Einselement ist doch das neutrale Element bzgl. der
> Multiplikation gemeint oder?
Das neutrale Element der Multiplikation im Ring.
>Das heißt doch, dass ich ein
> Elemtn v aus V nehme, dann muss gelten: [mm]v*id_{v}=v[/mm] ?
Nö, die Verknüpfung von Elemenen aus V und solchen aus End(V) kommt nicht vor hier.
Es gibt nur die Multiplikation von Körperelementen und Endomorphismen (denn wir betrachten den VR End(V), nicht V.), und die zweier Endomorphismen.
Gruß v. Angela
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> > Und die Definition der K-Algebra geht so:
> >
> > Sei V ein K-Vektorraum, der auch Ring ist, wobei die beiden
> > Additionen überinestimmen. V heißt K-Algebra, wenn
> > r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v) für alle r [mm]\in[/mm] K, u,v [mm]\in[/mm] V.
> Kommt drauf an, was Du unter "normal" verstehst.
> Wir haben es hier mit zwei Multiplikationen zu tun:
>
> im K_Vektorraum [mm]End_K(V)[/mm] hast Du die Multiplikation von
> Vektoren (=Endomorphismen) mit Körperelementen.
> Im Ring End(V) hast Du eine weitere Multiplikation,
> welche zwei Endomorphismen zu einem neuen Endomorphismus
> verknüpft.
>
> Für eine K-Algebra müssen die beiden Multiplikationene
> sich vertragen.
> Du könntest Dir für Dich mal überlegen, wo oben die
> Multiplikation im VR steht und wo die des Ringes.
Ja ich hab mir das überlegt.Zunächst steht links zwischen u und v die Multiplikation von Endomorphismen und diese dann mit r multipliziert ist die Multiplikation im Ring usw. halt, richtig?
> >Das heißt doch, dass ich ein
> > Elemtn v aus V nehme, dann muss gelten: [mm]v*id_{v}=v[/mm] ?
>
> Nö, die Verknüpfung von Elemenen aus V und solchen aus
> End(V) kommt nicht vor hier.
Stimmt, da ich jetzt verstanden habe, um welche Multiplikationen es geht, ist es klar.
Es ist also zu zeigen, dass r*(u*v)=(r*u)*v=u*(r*v), [mm] r\in [/mm] K, u,v [mm] \in End_{K}(V).
[/mm]
Wenn ich mir die linke Seite anschaue, dann ist die erste Multiplikation von r mit (uv) das neutrale Element im Ring, also [mm] r=id_{v}. [/mm] Und links die Multiplikation u*v ist die Komposition von Endomorphismen, also u*v=(f:U [mm] \to [/mm] U [mm] \circ [/mm] g:W [mm] \to [/mm] W). Insgesamt ist also zu zeigen,dass:
[mm] id_{v}*(f:U \to [/mm] U [mm] \circ [/mm] g:W [mm] \to W)=(id_{v}*f:U \to [/mm] U) [mm] \circ [/mm] g:W [mm] \to [/mm] W=(f:U [mm] \to [/mm] U) [mm] \circ (id_{v}*g:W \to [/mm] W).
So, mein Problem ist jetzt, dass ich mit dieser Darstellung nicht viel anfangen kann, kann man das f:U [mm] \to [/mm] U und g:W [mm] \to [/mm] W nicht anders aufschreiben, so dass man auch konkret damit rechnen kann?
Ich könnte höchstens noch f [mm] \circ [/mm] g=f(g(x)) schreiben.
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mo 13.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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