Jordansche Normalform Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Mo 26.06.2006 | | Autor: | CranHead |
| Aufgabe | | Es sei [mm] P_{n} [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n über [mm] \IR, [/mm] und [mm] \pi [/mm] : [mm] P_{n} \to P_{n} [/mm] sei definiert durch [mm] \pi [/mm] (p) = p' (die Ableitung). Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von [mm] \pi [/mm] und eine Basis B, so dass [mm] M_{B}^{B} (\pi) [/mm] Jordansche Normalform hat. |
Hallo,
es ging bisher auf dem Aufgabenzettel und in der Vorlesung eigentlich nur um die Jordansche Normalform von Matrizen. Dabei haben wir immer Basen vom Kern gesucht, von unten nach oben eine Stufenbasis aufgestellt und dann von oben nach unten die Jordanbasis erzeugt. Ich denke mal, dass das Verfahren hier relativ bekannt ist. Das klappte auch ganz gut. Auch mit der Basis. Aber bei dieser Aufgabe finde ich einfach überhaupt keinen Ansatz. Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich hier anfangen oder vorgehen kann.
Danke schon mal im Voraus.
CranHead
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mo 26.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo CranHead und![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei [mm]P_{n}[/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n
> über [mm]\IR,[/mm] und [mm]\pi[/mm] : [mm]P_{n} \to P_{n}[/mm] sei definiert durch [mm]\pi[/mm]
> (p) = p' (die Ableitung). Bestimmen Sie die Jordansche
> Normalform von [mm]\pi[/mm] und eine Basis B, so dass [mm]M_{B}^{B} (\pi)[/mm]
> Jordansche Normalform hat.
> Hallo,
>
> es ging bisher auf dem Aufgabenzettel und in der Vorlesung
> eigentlich nur um die Jordansche Normalform von Matrizen.
> Dabei haben wir immer Basen vom Kern gesucht, von unten
> nach oben eine Stufenbasis aufgestellt und dann von oben
> nach unten die Jordanbasis erzeugt. Ich denke mal, dass das
> Verfahren hier relativ bekannt ist. Das klappte auch ganz
> gut. Auch mit der Basis. Aber bei dieser Aufgabe finde ich
> einfach überhaupt keinen Ansatz. Es wäre nett, wenn mir
> jemand einen Tipp geben könnte, wie ich hier anfangen oder
> vorgehen kann.
Such dir doch erstmal eine Basis von [mm] P_{n}. [/mm] Dieser Raum ist (n+1)-dimensional und hat eine kanonische Basis, die mit [mm] x^{n} [/mm] anfängt, mit [mm] x^{n-1} [/mm] weitergeht und mit 1(!) aufhört.
Was sind die Bilder dieser Dinger unter [mm] \pi [/mm] ? [mm] \pi [/mm] ist übrigens kein Isom. Jetzt müßtest du die zugehörige Matrix hinkriegen, und das weitere Vorgehen kannst du ja anscheinend.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mo 26.06.2006 | | Autor: | CranHead |
Vielen Dank für die Mühe. Ich komme aber leider immer noch nicht weiter. Wenn ich die Basis von [mm] P_{n} [/mm] mit [mm] \pi [/mm] abbilde, dann habe ich für [mm] x^{n} [/mm] zum Beispiel [mm] nx^{n-1} [/mm] und so weiter. Aber viel weiter komme ich damit noch nicht. Ich brauche doch noch irgendwie die Nullstellen des Polynoms oder irre ich da? Vielleicht brauche ich doch noch einen weiteren kleinen Tipp.
Vielen Dank, Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 26.06.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Dirk!
> Vielen Dank für die Mühe. Ich komme aber leider immer noch
> nicht weiter. Wenn ich die Basis von [mm]P_{n}[/mm] mit [mm]\pi[/mm] abbilde,
> dann habe ich für [mm]x^{n}[/mm] zum Beispiel [mm]nx^{n-1}[/mm] und so
> weiter. Aber viel weiter komme ich damit noch nicht. Ich
> brauche doch noch irgendwie die Nullstellen des Polynoms
> oder irre ich da? Vielleicht brauche ich doch noch einen
> weiteren kleinen Tipp.
Dann gucken wir uns mal eben fix die Matrix von [mm] \pi [/mm] bzgl. der kanonischen Basis an:
[mm] \pi [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & & 0 \\ n & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & n-1 & 0 & & 0 \\ \\ 0 & & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Hilft das nun weiter? Jetzt kannst du nach Schema F fortsetzen.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Di 27.06.2006 | | Autor: | CranHead |
Super, sehr gut. Das waren genau die Tipps, die ich brauchte. Hab die Form und die Basis gefunden. Vielen Dank für die Mühe.
Gruß, Dirk
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