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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 16.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Besitzt die Matrix A eine JNF über [mm] K=\IQ, K=\IR [/mm] oder [mm] K=\IC?
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 } [/mm] |
Hallo an alle,
ich weiß, was eine JNF ist und wie man diese berechnet.
Ich verstehe nur nicht ganz, was erstmal die Frage bedeutet, ob die Matrix eine JNF über [mm] K=(z.B.)\IQ [/mm] besitzt. Heißt das, dass alle Einträge der JNF Elemente aus [mm] \IQ [/mm] sind oder was beudeutet dies?
Desweiteren wollte ich fragen, ob es einen Trick gibt zu sehen, ob eine Matrix eine JNF besitzt ohne diese zu berechnen?
Wenn ich schonmal dabei bin habe ich kurz noch eine weitere Frage:
-Die geometrische Multiplizität eines Eigenwertes kann nie größer sein als die algebraische Multiplizität, oder?
-Und wenn ich das Maximum der Dimension der Haupträume einer Matrix angeben soll, ist das dann einfach die algebraische Multiplizität aller Eigenwerte der Matrix addiert?
Vielen Dank für eure Hilfe, viele Grüße, eure Paula
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> Besitzt die Matrix A eine JNF über [mm]K=\IQ, K=\IR[/mm] oder
> [mm]K=\IC?[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 2 }[/mm]
> Hallo an
> alle,
> ich weiß, was eine JNF ist und wie man diese berechnet.
>
> Ich verstehe nur nicht ganz, was erstmal die Frage
> bedeutet, ob die Matrix eine JNF über [mm]K=(z.B.)\IQ[/mm] besitzt.
> Heißt das, dass alle Einträge der JNF Elemente aus [mm]\IQ[/mm]
> sind oder was beudeutet dies?
Hallo,
eine Matrix A besitzt eine JNF, wenn ihr charakteristisches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt.
Hat eine Matrix das charakteristische Polynom [mm]\chi[/mm][mm] (t)=t^2+1, [/mm] so hat sie über [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IR [/mm] keine JNF, über [mm] \IC [/mm] aber wohl.
Oder wenn das das charakteristische Polynom [mm] $\chi$(t)=t^2-2 [/mm] ist, dann zerfällt es nicht über [mm] \IQ, [/mm] aber über [mm] \IR.
[/mm]
>
> Desweiteren wollte ich fragen, ob es einen Trick gibt zu
> sehen, ob eine Matrix eine JNF besitzt ohne diese zu
> berechnen?
S.o.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe, viele Grüße, eure Paula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 16.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
> eine Matrix A besitzt eine JNF, wenn ihr charakteristisches
> Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt.
Ich kann doch jedes charakteristische Polynom, anhand der Nullstellen als Linearfaktoren scheiben, wie erkenne ich denn, wann es nicht geht?
>
> Hat eine Matrix das charakteristische Polynom [mm]\chi[/mm][mm] (t)=t^2+1,[/mm]
> so hat sie über [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IR[/mm] keine JNF, über [mm]\IC[/mm] aber
> wohl.
> Oder wenn das das charakteristische Polynom [mm]\chi[/mm][mm] (t)=t^2-2[/mm]
> ist, dann zerfällt es nicht über [mm]\IQ,[/mm] aber über [mm]\IR.[/mm]
Das sehe ich leider noch nicht, wieso das erste Beispiel eine JNF über [mm]\IC[/mm] hat und das andere nicht :-S Vielleicht wird mir das bei mehr Beispielen klarer.
Ich habe mal das charakteristische Polynom der Matrix berechnet:
[mm] x^{3}-3x^{2}+3x-1 [/mm] und in Linearfaktoren: [mm] (x-1)^{3}; [/mm] hier würde ich nun sagen, dass die Matrix eine JNF über alle 3, sprich [mm] K=\IQ,\IR,\IC [/mm] hat, aber z.b. nicht über [mm] \IN??
[/mm]
Wenn ich schon dabei bin habe ich noch 2 kleine Fragen  :
-Die geometrische Multiplizität eines Eigenwertes kann nie größer sein als die algebraische Multiplizität, oder?
-Und wenn ich das Maximum der Dimension der Haupträume einer Matrix angeben soll, ist das dann einfach die algebraische Multiplizität aller Eigenwerte der Matrix addiert?
Viele Grüße, Paula
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> > eine Matrix A besitzt eine JNF, wenn ihr charakteristisches
> > Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt.
>
> Ich kann doch jedes charakteristische Polynom, anhand der
> Nullstellen als Linearfaktoren scheiben, wie erkenne ich
> denn, wann es nicht geht?
Hallo,
das erkennst Du daran, daß es keine Nullstellen in K hat.
> >
> > Hat eine Matrix das charakteristische Polynom [mm]\chi[/mm][mm] (t)=t^2+1,[/mm]
> > so hat sie über [mm]\IQ[/mm] oder [mm]\IR[/mm] keine JNF, über [mm]\IC[/mm] aber
> > wohl.
> > Oder wenn das das charakteristische Polynom [mm]\chi[/mm][mm] (t)=t^2-2[/mm]
> > ist, dann zerfällt es nicht über [mm]\IQ,[/mm] aber über [mm]\IR.[/mm]
>
> Das sehe ich leider noch nicht, wieso das erste Beispiel
> eine JNF über [mm]\IC[/mm] hat und das andere nicht
Dir ist klar, daß das zweite Polynom über [mm] \IR [/mm] zerfällt?
Dann zerfällt es natürlich auch über [mm] \IC. [/mm] Es ist doch [mm] \IR\subseteq \IC.
[/mm]
Mal (nicht ganz) nebenbei bemerkt: über [mm] \IC [/mm] zerfällt jedes Polynom.
> Ich habe mal das charakteristische Polynom der Matrix
> berechnet:
> [mm]x^{3}-3x^{2}+3x-1[/mm] und in Linearfaktoren: [mm](x-1)^{3};[/mm] hier
> würde ich nun sagen, dass die Matrix eine JNF über alle
> 3, sprich [mm]K=\IQ,\IR,\IC[/mm] hat, aber z.b. nicht über [mm]\IN??[/mm]
In dem Moment, in welchem wir über Matrizen über einem Körper reden, steht [mm] \IN [/mm] gar nicht zur Debatte...
>
>
> Wenn ich schon dabei bin habe ich noch 2 kleine Fragen
> :
> -Die geometrische Multiplizität eines Eigenwertes kann
> nie größer sein als die algebraische Multiplizität,
> oder?
Richtig.
> -Und wenn ich das Maximum der Dimension der Haupträume
> einer Matrix angeben soll, ist das dann einfach die
> algebraische Multiplizität aller Eigenwerte der Matrix
> addiert?
Nein. Es geht doch um den Hauptraum zu einem bestimmten Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Du potenzierst dazu so lange [mm] (A-\lambda [/mm] E), bis sich der Kern der Potenz nicht mehr ändert.
Wenn [mm] Kern(A-\lambda E)^{k-1}\not=Kern(A-\lambda E)^{k} [/mm] und [mm] Kern(A-\lambda E)^{k}=Kern(A-\lambda E)^{k+1}, [/mm] dann ist k die Dimension des größten Hauptraumes zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Du kanst es auch am Minimalpolynom sehen: es ist die Potenz im Minimalpolynom, die zu [mm] \lambda [/mm] gehört.
Gruß v. Angela
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> Viele Grüße, Paula
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