Jordannormalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mo 24.08.2009 | | Autor: | Horizon |
Hallo, ich hab ein Problem mit der Reihenfolge der Jordankästchen. Überall steht immer geschrieben, dass die Reihenfolge der Jordankästchen einer Jordannormalform beliebig ist. Aber wie ist es wenn man bereits eine Basis eindeutig bestimmt hat, grenzt man damit nicht zugleich die möglichen JNFen ein?
Es muss doch immer gelten: [mm] B^{-1}*A*B=JNF
[/mm]
Ein Beispiel:
Von der Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2} [/mm] möchte ich die Jordannormalform erstellen.
Die Eigenwerte sind 3 mit dem Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und
2 mit dem Eigenvektor [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] .
Damit komme ich dann auf eine Basis der Jordannormalform mit:
[mm] b_{1}= \vektor{5 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0} b_{2}= \vektor{-6 \\ -2 \\ 2 \\ 0 \\ 1} [/mm] zum Eigenwert 2 und
[mm] b_{3}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} b_{4}= \vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} b_{5}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] zum Eigenwert 3
Wenn ich jetzt [mm] B^{-1}*A*B=JNF [/mm] voraussetze, so finde ich nur noch 2 sinnvolle Anordnung dieser Basisvektoren, also nur noch 2 mögliche Jordannormalformen.
Entweder ich wähle B= [mm] \pmat{ -5 & -6 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0} [/mm] mit [mm] B^{-1}= \pmat{ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2}
[/mm]
und komme auf die [mm] JNF=B^{-1}*A*B= \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
oder aber ich wähle B= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 & -6 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0} [/mm] mit [mm] B^{-1}= \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0}
[/mm]
und komme auf die [mm] JNF=B^{-1}*A*B= \pmat{ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
Wenn ich aber nun schreiben würde, dass eine JNF die zu meiner Menge an Basisvektoren passt JNF= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2} [/mm] sei, wäre das doch falsch, oder nicht? Ich kann doch mit keine Anordnung meiner Basisvektoren zu einer Transformationsmatrix diese JNF erreichen. Außerdem wäre bei der Form wo oben links das kleinste Kästchen steht, die 1er über der Diagonalen aus den Eigenwerten, während wenn man das größte Kästchen links oben haben will, die 1er unter der Diagonalen. Die Basis natürlich jeweils entsprechend angeordnet.
Ich darf also sobald ich eine Basis gefunden habe meine Jordankästchen meiner Jordannormalform nicht mehr beliebig verschieben. Damit wäre dann die Reihenfolge der Jordankästchen, sobald ich eine Jordanbasis gefunden habe nicht mehr beliebig! Jetzt habe ich aber von vielen Seiten gehört, dass sie eben doch egal wäre, was stimmt nun?
Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.fsmb.mw.tum.de/extern/forum/thread.php?threadid=16439
|
|
| |
|
Hallo,
ob die Einsen über oder unter der Diagonale stehen bei der JNF ist von Ort u Ort bzw. von Autor zu Autor verschieden.
Du hast ja auch erkannt, daß es nicht von Belang ist, sondern von der Anordnung der Basisvektoren im jeweiligen Eigenraum abhängt.
Beschränken wir uns bei der Betrachtung auf die JNF mit Einsen oben.
Man macht das normalerweise so, daß zuerst der Jordanblöcke zum größten Eigenwert kommt und zuletzt der zum kleinsten, es auf der Diagonalen also abwärts geht.
Innerhalb der Jordanblocke sortiert man normalerweise so, daß man mit dem größen Jordankästchen beginnt.
Aber letztendlich ist das alles nicht so wichtig, es ist ja nur eine Frage, wie man die Basisvektoren der Jordanbasis anordnet.
Wenn die JNF einer Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3} [/mm]
ist,
so bekommt man
[mm]\pmat{ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}[/mm] ,
wenn man kurzerhand die beiden ersten Basisvektoren der Jordanbasis ans Ende stellt.
Diese JNF wäre auch richtig, aber meist sortiert man so wie bei der ersten.
Es gibt halt zu einer Matrix nicht nur eine Jordanbasis.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
