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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 16.07.2008 | | Autor: | match |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN \{0}, d_1,.....,d_s \in \IN \{0} [/mm] und [mm] \lambda_1,....,\lambda_d_s \in \IC. [/mm] Sei A [mm] \in M(n,\IC) [/mm] mit JNF:
[mm] \pmat{ J_d_1(\lambda_1) & 0 & ... & 0 \\ 0 & J_d_2(\lambda_2) & ... & 0 \\ ... & ... & .... & J_d_s (\lambda_d_s) }
[/mm]
wobei [mm] J_d(\lambda_d) \in M(d,\IC) [/mm] ein Jordanblock mit Diagonaleintrag [mm] \lambda [/mm] ist. Zeigen sie Die JNF von [mm] A^{k} [/mm] , k [mm] \in \IZ \{0}ist
[/mm]
[mm] \pmat{ J_d_1(\lambda_1^{k}) & 0 & ... & 0 \\ 0 & J_d_2(\lambda_2^{k}) & ... & 0 \\ ... & ... & .... & J_d_s (\lambda_d_s^{k}) }
[/mm]
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So ich habe hier einen Lösungsansatz der mir allerdings etwas kurz erscheint und es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob er überhaupt richtig ist.
[mm] A=S^{-1} J_A [/mm] S
[mm] A^{k}=(S^{-1} J_A S)^{k}
[/mm]
[mm] \gdw S^{-1} J_A SS^{-1} J_A SS^{-1} J_A S.......S^{-1} J_A [/mm] S
[mm] \gdw S^{-1}J_a^{k}S
[/mm]
was ja eigentlich zu zeigen war oder muss ich noch mehr zeigen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei n [mm]\in \IN \{0}, d_1,.....,d_s \in \IN \{0}[/mm] und
> [mm]\lambda_1,....,\lambda_d_s \in \IC.[/mm] Sei A [mm]\in M(n,\IC)[/mm] mit
> JNF:
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> [mm]\pmat{ J_d_1(\lambda_1) & 0 & ... & 0 \\ 0 & J_d_2(\lambda_2) & ... & 0 \\ ... & ... & .... & J_d_s (\lambda_d_s) }[/mm]
>
> wobei [mm]J_d(\lambda_d) \in M(d,\IC)[/mm] ein Jordanblock mit
> Diagonaleintrag [mm]\lambda[/mm] ist. Zeigen sie Die JNF von [mm]A^{k}[/mm] ,
> k [mm]\in \IZ \{0}ist[/mm]
>
> [mm]\pmat{ J_d_1(\lambda_1^{k}) & 0 & ... & 0 \\ 0 & J_d_2(\lambda_2^{k}) & ... & 0 \\ ... & ... & .... & J_d_s (\lambda_d_s^{k}) }[/mm]
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> So ich habe hier einen Lösungsansatz der mir allerdings
> etwas kurz erscheint und es wäre nett wenn mir jemand sagen
> könnte ob er überhaupt richtig ist.
>
> [mm]A=S^{-1} J_A[/mm] S
> [mm]A^{k}=(S^{-1} J_A S)^{k}[/mm]
> [mm]= S^{-1} J_A SS^{-1} J_A SS^{-1} J_A S.......S^{-1} J_A[/mm]
> S
> [mm]= S^{-1}J_a^{k}S[/mm]
>
> was ja eigentlich zu zeigen war
Hallo,
das wäre richtig, wenn [mm] J_A^{k} [/mm] eine JNF wäre.
Das ist aber nicht der Fall, berechne z.B. [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }³, [/mm] da siehst Du es.
Gru v. Angela
oder muss ich noch mehr
> zeigen?
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> Vielen Dank
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 16.07.2008 | | Autor: | match |
Aber wie kann man das sonst zeigen?
Wenn du einen kleinen Tipp hättest waäre das ganz gut.
Liebe Grüße
Matze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 16.07.2008 | | Autor: | match |
Kann es ein,dass ich zeigen muss, da ja jeder Jordanblock JNF hat , dass [mm] S^{-1}J_d_s(\lambda_d_s) [/mm] S [mm] =S^{-1} (J_ds(\lambda_d_s))^k [/mm] S ist? Bin über jede Antwort froh.
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> Kann es ein,dass ich zeigen muss, da ja jeder Jordanblock
> JNF hat , dass [mm]S^{-1}J_d_s(\lambda_d_s)[/mm] S [mm]=S^{-1} (J_ds(\lambda_d_s))^k[/mm]
> S ist? Bin über jede Antwort froh.
Hallo,
das zu zeigen wird doch nicht klappen.
Ich habe Dir doch ein Jordanmatrizchen gegeben, an welchem man sieht, daß das eben nicht so ist.
Gruß v. Angela
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> Aber wie kann man das sonst zeigen?
>
> Wenn du einen kleinen Tipp hättest wäre das ganz gut.
Hallo,
ich würde versuchen, eine Jordanbasis für [mm] A^k [/mm] aus der Jordanbasis von A zu basteln.
Ist Dir klar, daß [mm] \lambda^k [/mm] ein EW von [mm] A^k [/mm] ist, wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von A ist? Und wenn [mm] e_\lambda [/mm] der EV von A zu [mm] \lambda [/mm] ist, wie bekommst Du den EV von [mm] A^k?
[/mm]
Dann nimm Dir die andere Sorte Elemente der Jordanbasis von A vor.
Ich würde mal schauen, was mit denen unter [mm] A^k [/mm] passiert, und gucken, ob man sie so "frisieren" kann, daß eien Jordanbasis für [mm] A^k [/mm] dabei rauskommt.
Gerechnet habe ich das noch nicht, aber dieer Ansatz kommt mir sinnvoll vor.
Gruß v. Angela
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