Jordan Normalform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Hallo. Wir haben heute die Jordan Normalform eingeführt. Ich habe meine aufzeichnungen nochmals durchgearbeitet und auch verstanden, bis auf eine sache:
Sei [mm] M\in \mathbb K^{n\times n}. [/mm] Die länge/höhe des (erst)größten jordankästchens eines jordanblocks berechnet man ja, indem man das kleinste d berechnet, für das [mm] \dim{\ker{((M-\lambda_i E)^d)}}=n [/mm] ist. |
Aber wie berechnet man die länge/höhe des 2.-, 3.-, usw. -größten jordankästchens eines jordanblocks?
Ich freue mich über jede hilfe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=481032
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Hallo Marschal,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo. Wir haben heute die Jordan Normalform eingeführt.
> Ich habe meine aufzeichnungen nochmals durchgearbeitet und
> auch verstanden, bis auf eine sache:
>
> Sei [mm]M\in \mathbb K^{n\times n}.[/mm] Die länge/höhe des
> (erst)größten jordankästchens eines jordanblocks
> berechnet man ja, indem man das kleinste d berechnet, für
> das [mm]\dim{\ker{((M-\lambda_i E)^d)}}=n[/mm] ist.
> Aber wie berechnet man die länge/höhe des 2.-, 3.-, usw.
> -größten jordankästchens eines jordanblocks?
>
Sei
[mm]\Delta_{l}\left(\lambda_{i}\right):=\dim{\ker{((M-\lambda_i E)^l)}}[/mm]
Dann ergibt sich die Anzahl [mm]N_{l}\left(\lambda_{i}\right)[/mm] der elementaren Jordanblöcke
der Größe l zum Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm] nach der Formel:
[mm]N_{l}\left(\lambda_{i}\right)=-\Delta_{l+1}\left(\lambda_{i}\right)+2*\Delta_{l}\left(\lambda_{i}\right)-\Delta_{l-1}\left(\lambda_{i}\right)[/mm]
> Ich freue mich über jede hilfe.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=481032
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marschal |
Hallo MathePower,
vielen Dank für das fröhliche willkommen :)
Dein vorschlag kann ich glaube ich nicht ganz anwenden. Also bei mir ist es so: es gibt nur ein Jordan-Block, der hat die Größe 4x4 (also wie die ursprüngliche Matrix) und das erste jordan-kästchen hab ich wie ich oben geschrieben hab bestimt, der hat bei mir die größe 2. Jetz muss ich dann aber noch wissen, ob ich 2 kästchen der größe eins habe oder nochmal eins der größe 2. Dies zu bestimmen ist mein Ziel. Weißt du was ich meine? 
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Hallo Marschal,
> Hallo MathePower,
> vielen Dank für das fröhliche willkommen :)
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> Dein vorschlag kann ich glaube ich nicht ganz anwenden.
> Also bei mir ist es so: es gibt nur ein Jordan-Block, der
> hat die Größe 4x4 (also wie die ursprüngliche Matrix)
> und das erste jordan-kästchen hab ich wie ich oben
> geschrieben hab bestimt, der hat bei mir die größe 2.
> Jetz muss ich dann aber noch wissen, ob ich 2 kästchen der
> größe eins habe oder nochmal eins der größe 2. Dies zu
> bestimmen ist mein Ziel. Weißt du was ich meine?
>
Die Anzahl der Jordanblöcke ist doch [mm]\dim{\ker{((M-\lambda_i E))}}[/mm]
ist diese Dimension 3, so hast Du noch 2 Jordanblöcke der Größe 1.
ist diese Dimension 2, so hast Du noch einen Jordanblock der Größe 2.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marschal |
du meinst jordankästchen, nicht jordanblöcke, oder?
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Hallo Marschal,
> du meinst jordankästchen, nicht jordanblöcke, oder?
Ich meine hier elementare Jordanblöcke.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marschal |
Danke,
was sind elementare Jordanblöcke?
Also ich kennen nur jordanblöcke (die großen dinger)
und jordankästchen (die innen drin wo ist einsen angeben)
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Hallo Marschal,
> Danke,
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> was sind elementare Jordanblöcke?
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Ein elementarer Jordanblock sieht so aus:
[mm]J\left(\mu,\lambda\right)=\pmat{\lambda \\ 1 & \lambda \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & \lambda}[/mm]
Das ist ein elementarer Jordanblock der Größe [mm]\nu[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
> Also ich kennen nur jordanblöcke (die großen dinger)
> und jordankästchen (die innen drin wo ist einsen angeben)
Wahrscheinlich ist der Jordanblock
eine Aneinanderreihung von Jordankästchen.
In diesem Sinne ist ein Jordankästchen
als ein elementarer Jordanblock zu sehen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marschal |
okay danke, so ein gebilde, ein elementarer jordanblock, heißt bei uns jordankästchen.
Jetzt bin ich grad durcheinander. Finde ich nicht so gut, dass Bezeichnungen in der mathematik nicht einheitlich sind. Das würde sehr vieles einfacher machen...
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