Jordan Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Phecda |
Hi
hab viel gegooglt aber mir ist trotzdem bei einer aufgabe etwas unklar. es geht dadrum eine matrix auf jordansche normalform zu bringen:
[mm] A=\pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 3 }
[/mm]
das charakteristische polynom ist nun: [mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] 7\lambda^2 -15\lambda [/mm] + 9 = 0
und die nullstellen [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3, [mm] \lambda_{2}= [/mm] 3, [mm] \lambda_{3}=1
[/mm]
Kann mir jetzt jmd schritt für schritt erklären wie ich die Jordan'sche Normalform berechne?
Danke
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Hallo,
eine schöne Anleitung liefert dieses ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Do 05.06.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
das hab ich selbstverständlich auch schon durchgearbeitet
aber nicht wirklich verstanden, in dem pdf file wird das find ich schlecht erklärt, wenn man grob weiß wies geht, ists ganz okay. aber ich weiß so gut wie gar nicht wies weitergeht
ich glaube die nullstelle 3 ist ja zweifach, und was kann ich weiter mit anfangen?
lg
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Hallo,
erstmal ist es wichtig, daß Du Dir klarmachst, daß die Matrix wirklich eine JNF hat: das in Linearfaktoren zerfallende charakteristische Polynom garantiert Dir das.
> ich glaube die nullstelle 3 ist ja zweifach, und was kann
> ich weiter mit anfangen?
Die Eigenwerte 3,3, 1 liefern Dir schonmal folgende Informationen über das Aussehen der JNF:
$ [mm] J_A=\pmat{ \red{3} & \red{\*} & 0 \\ \red{\*} & \red{3} & 0 \\ 0 & 0 & \green{1} } [/mm] $
Das Rote ist der Jordanblock zum Eigenwert 3, weil die alg. Vielfachheit von 3 zwei ist, hat er das Format 2x2,
das Grüne ist der Jordanblock zu 1, aufgrund der alg. Vielfachheit der 1 hat er das Format 1x1.
Wenn Du weißt, wie JNFen aussehen, siehst Du, daß es nur noch zwei Möglichkeiten gibt:
[mm] J_A=\pmat{ \red{3} & \red{0} & 0 \\ \red{0} & \red{3} & 0 \\ 0 & 0 & \green{1} } [/mm] oder [mm] J_A=\pmat{ \red{3} & \red{1} & 0 \\ \red{0} & \red{3} & 0 \\ 0 & 0 & \green{1} }.
[/mm]
Welche der beiden Möglichkeiten es ist, hängt davon ab, ob der Eigenraum zu 3 die Dimension 1 oder 2 hat.
Schau Dir die erste der beiden Möglichkeiten an: siehst Du, daß dies eine Matrix ist, die zwei (l.u.) Eigenvektoren zum Eigenwert 3 hat? Bei der 2.Varainte ist das nicht der Fall.
Du mußt nun als nächstes also den Eigenraum zu 3 berechnen, damit entscheidet sich dann alles.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 05.06.2008 | | Autor: | Phecda |
hi wie kommt man drauf,
einmal bei der jordanformel [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] und einmal [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 } [/mm]
zu schreiben?
und dann sollten wir zeigen, dass (A-I)(A-3I) [mm] \not= [/mm] 0 ist und dadraus schließen welche jordanform bemeint ist...
was sagt diese komische gleichung aus?
lg
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> hi wie kommt man drauf,
> einmal bei der jordanformel [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm] und
> einmal [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 }[/mm]
> zu schreiben?
Hallo,
naja, dafür ist natürlich Voraussetzung, daß man in der Vorlesung gut aufgepaßt hat und weiß, wie JNFen aussehen.
Man kann sich das aber auch hier angucken.
> und dann sollten wir zeigen, dass (A-I)(A-3I) [mm]\not=[/mm] 0 ist
> und dadraus schließen welche jordanform bemeint ist...
> was sagt diese komische gleichung aus?
Heijeijei, Du hast die Sache offensichtlich etwas schleifen lassen...
Ich fürchte, Du wirst Dich nun ein Weilchen mit dem Studium Deiner Unterlagen oder eines Buches beschäftigen müssen.
Das hängt mit den charakteristischen und dem Minimalpolynom zusammen.
Dein charakteristisches Polynom ist [mm] P_A(x)=(x-3)^2(x-1).
[/mm]
Informiere Dich über das Minimalpolynom. Was ist das, wie kann das aussehen?
Wenn m(x)=(x-1)(x-3) ist, und wenn [mm] m(A)=(A-I)(A-3I)\not=0 [/mm] ist, kann m nicht das Minimalplynom sein.
Welches Polynom ist dann das Minimalpolynom?
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Diagonalisierbarkeit und dem Aussehen des Minimalpolynoms?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Do 05.06.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
ja du hast recht, hab zwei wochen lang kein mathe gemacht, weil wir klausuren geschrieben haben, war recht stressig, naja jetzt ist erstmal alles aufholen angesagt,
trotzdem danke :)
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