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Hallo!
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man die Jordan-Normalform mittels Rang bestimmt?
Man berechnet die Eigenwerte und berechnet für jeden Eigenwert den Rang der Matrix. Und dann? Wie sehe ich, ob in der Jordan-Normalform noch 1en hingehören oder nicht?
Danke schonmal!
Lg, Raingirl87
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Hallo,
ich finde, daß in diesem ![[]](/images/popup.gif) Kochrezept sehr schön und verständlich erklärt ist, wie man zu einer JNF kommt.
Ich schlage Dir vor, daß Du eine konkrete Matrix anhand dieser Anleitung bearbeitest und Dich bei weiteren Fragen meldest.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Danke für den Link aber das hatte ich auch schon im Internet gefunden.
Wie ich die JNF mittels Vergleich von charakteristischen Polynom und Minimalpolynom herausbekomme weiß ich ja aber es soll noch einen kürzeren Weg über irgend eine Rangberechnung geben.
Weißt du oder irgend jemand vielleicht, wie das geht?
Lg, Raingirl87
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> Wie ich die JNF mittels Vergleich von charakteristischen
> Polynom und Minimalpolynom herausbekomme weiß ich ja aber
> es soll noch einen kürzeren Weg über irgend eine
> Rangberechnung geben.
Hallo,
ich nehme an, daß Du das meinst, was in der Kochanleitung gleich am Anfang steht. Hast Du es durchgelesen?
Nehmen wir an, Du hast eine Matrix A.
Du berechnest zunächst das charkteristische Polynom.
Die Algebraische Vielfachheit der Eigenwerte liefert Dir die Länge des Jordanblocks zu jedem Eigenwert. (Erster Kasten im Rezept)
Aus [mm] \Xi_A=(x-2)^3(x-5)^2 [/mm] könntest Du z.B. ablesen, daß Deine JNF so aussieht:
[mm] JNF=\pmat{ 2 & *&0&0&0 \\ 0 & 2&*&0&0\\0 & 0&2&0&0\\0 & 0&0&3&*\\0 & 0&0&0&3}.
[/mm]
Dann bestimst Du die geometrische Vielfachheit eines jeden Eigenwertes.
Das ist die Dimension von kern(A-2E) und von Kern(A-3E).
Dann ist die Dim des Kerns gleich der Anzahl der Kästchen im jeweiligen Block. (Zweiter Kasten im Rezept)
Die Dim des Kerns hat ja in der Tat etwas mit dem Rang der Matrix A-2E bzw. A-3E zu tun.
In unserem Fall wäre Dim Kern(A-2E)= 5-Rang(A-2E). (Dritter Kasten im Rezept, das, was Du suchst.)
Wäre nun
-dim kern(A-2E)=1, hätte man [mm] JNF=\pmat{ 2 & 1&0&0&0 \\ 0 & 2&1&0&0\\0 & 0&2&0&0\\0 & 0&0&3&*\\0 & 0&0&0&3}
[/mm]
-dim kern(A-2E)=2, hätte man [mm] JNF=\pmat{ 2 & 1&0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0 & 0&2&0&0\\0 & 0&0&3&*\\0 & 0&0&0&3}
[/mm]
-dim kern(A-2E)=3, hätte man [mm] JNF=\pmat{ 2 & 0&0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0 & 0&2&0&0\\0 & 0&0&3&*\\0 & 0&0&0&3}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ahhhhhhhh...vielen, vielen DANK!
Ich hatte zwar das Dokument gelesen aber es irgendwie nicht richtig verstanden und dann nur die Beispielaufgabe angeschaut. Naja. Aber dank deiner supi Erklärung hab ich es jetzt endlich verstanden. Ich habe auch eine Aufgabe aus meinem Übungshefter dazu gerechnet. Leider habe ich jedoch keine Lösung dazu und es wäre nett, wenn du mal schauen könntest, ob das so stimmt:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 47 & 11 \\ 3 & 2 & 8 & 15 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 1 }
[/mm]
det|A-µE|=µ³-8µ²+11µ+20
µ1,2=-1, µ3=4, µ4=5
geo(-1)=2
geo(4)=1
geo(5)=1
alg(-1)=4-3=1
[mm] JNF=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 }
[/mm]
Kannst du mir evtl. auch noch erklären, wie man eine dazugehörige Basis zur Jordan-Normalform findet?
DANKE!
Lg, Raingirl87
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> Ich hatte zwar das Dokument gelesen aber es irgendwie
> nicht richtig verstanden
Hallo,
man muß solche Dinge sehr langsam lesen, und am besten gleich an einem Beispiel Schritt für Schritt umsetzen.
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 47 & 11 \\ 3 & 2 & 8 & 15 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 1 }[/mm]
>
> det|A-µE|=µ³-8µ²+11µ+20
> µ1,2=-1, µ3=4, µ4=5
> geo(-1)=2
> geo(4)=1
> geo(5)=1
> alg(-1)=4-3=1
Obgleich das charakteristische Polynom nicht stimmt (es ist doch nicht vom Grad 4 !!!), hast Du die richtigen Eigenwerte heraus. (Dein Polynom dürfte das Minimalpolynom sein, weiß der Geier, wo Du das herhast.)
Wie hast die Vielfachheiten ermittelt? Die algebraischen sind die Potenzen im charakteristischen Polynom, die geometrischen die Dimensionen der Eigenräume.
Es kann die geometrische Vielfachheit nicht größer sein als die algebraische. (Das behauptest Du aber. Du scheinst das wohl verwechselt zu haben.)
Die JNF stimmt dann aber.
>
> [mm]JNF=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
>
> Kannst du mir evtl. auch noch erklären, wie man eine
> dazugehörige Basis zur Jordan-Normalform findet?
Die Matrix ist ja recht freundlich, weil die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte 4 und 5 jeweils 1 ist. Das bedeutet, daß Du "hinten" in der Basis [mm] (v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 4 und 5 hast.
Es fehlen Dir also nur noch die ersten beiden, das Basisvektorensortiment, was zum Jordanblock für -1 gehort.
Nun tu doch einfach mal das, was im Rezept bei "JNF für Genießer" steht und schau, ob's klappt.
Wenn nicht, frag nach, und erzähl, warum Du nicht weiterkommst.
Gruß v. Angela
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