Jordan-Normalform bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Jordan-Form der folgenden Matrix [mm] A\in \IC^{3x3}:
[/mm]
[mm] A=\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] |
Hallo liebe Community! Ist meine Lösung richtig?
Behauptung: Die Jordan-Form der Matrix [mm] A=\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } \in \IC [/mm] ist [mm] M_{A}(F)=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
Beweis: Zunächst bestimmen wir das charakteristische Polynom [mm] P_{A}(t). [/mm] Dazu rechnen wir:
[mm] (A-t*I)=(\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }-t*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })=(\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }-\pmat{t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t })=(\pmat{1-t & 1 & 0 \\ 0 & 1-t & 0 \\ 0 & 1 & 1-t })
[/mm]
=> [mm] P_{A}(t)=(1-t)^{3}=-(t-1)^{3}
[/mm]
Möglichkeiten für [mm] m_{A}(t): (t-1)^{3}, (t-1)^{2} [/mm] oder (t-1). Durch einsetzen der Matrix ergibt sich, dass [mm] m_{A}(t)=(t-1)^{2} [/mm] ist.
Hieraus ergeben sich folgende Möglichkeiten für die Jordan-Form:
(a) [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=(t-1)^{3}
[/mm]
(b) [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=(t-1)
[/mm]
(c) [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=(t-1)^{2}
[/mm]
=> [mm] M_{A}(F)=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
LG DerPinguinagent
|
|
| |
|
Hallo,
Du hast die JNF richtig bestimmt.
LG Angela
|
|
|
|
