Jensen'sche Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:45 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | (i)
Es sei [mm] C:[0,\infty) \to [0,\infty) [/mm] eine konkave (und messbare) Funktion auf [mm] ([0,\infty),\mathcal{B}([0,\infty)),\lambda^1) [/mm] sowie [mm] w\in \mathcal{L}^1 ([0,\infty),\lambda^1).
[/mm]
Beweisen Sie folgende Version der Jensen'schen Ungleichung für beliebige (messbare) Funktionen [mm] u:[0,\infty) \to [0,\infty):
[/mm]
[mm] C(\bruch{\integral uw d\lambda}{\integral w d\lambda}) \ge \bruch{\integral C(u)w d\lambda}{\integral w d\lambda}
[/mm]
(ii)
Auf dem W'raum [mm] (\Omega,\mathcal{F},P) [/mm] sei eine reelle ZV [mm] X:\Omega\to [/mm] I gegeben, deren Verteilung [mm] P_X [/mm] nicht das Diracmaß ist. Zeigen Sie [mm] E(X)\in \dot [/mm] I |
Hallo!
Ich stehe mal wieder auf dem Schlauch.
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Kann man (i) so beginnen?
Wenn [mm] uw\in \mathcal{L}^1(\mu), [/mm] dann [mm] C(u)w\in \mathcal{L}^1(\mu)
[/mm]
Wenn der linke Term unendlich ist, muss ich nichts zeigen. Dafür dürfen wir annehmen, dass [mm] \integral uwd\mu [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Da C(x) konkav ist, finden wir für jedes [mm] l(x)=\alpha x+\beta \ge [/mm] C(x), dass
[mm] \bruch{\integral C(u)wd\mu}{\integral wd\mu} \le \bruch{\integral (\alpha u + \beta)wd\mu}{\integral wd\mu} [/mm] = [mm] \alpha \bruch{\integral uwd\mu}{\integral wd\mu}+\beta [/mm] = [mm] l(\bruch{\integral uwd\mu}{\integral wd\mu})
[/mm]
Mit [mm] \Phi [/mm] (x)=inf{ [mm] l(x):l(z)=\alpha z+\beta \ge \Phi [/mm] (z) [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] (a,b) } durchgeführt über alle lineare Funktionen folgt l [mm] \ge [/mm] C.
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zu (ii) habe ich allerdings noch keinen Ansatz.
Danke für Eure Hilfe und Denkanstöße!
Janett
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 23.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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