Jacobson Radikal für Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 19.06.2009 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe 1 | Definition:
Sei A ein kommutativer Ring mit 1. Dann ist das Jacobson-Radikal J = $ [mm] \cap \{ M | M \subset A $ maximales Ideal $ \} [/mm] $ |
| Aufgabe 2 | Lemma
$ x [mm] \in [/mm] J [mm] \gdw [/mm] 1-xy [mm] \in A^{ \times } \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A $ |
Hallo zusammen,
ich habe da folgende Frage. Wenn jetzt A ein Körper, z.b. A = [mm] \IQ [/mm] ,ist, dann ist doch erstmal J = (0), weil das einzige maximale Ideal im Körper das Nullideal ist. Und es gilt doch (0) = [mm] \{0\}, [/mm] oder??
Aber, da im Körper jedes Element außer die Null eine Einheit ist:
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2} \in \IQ ^{\times}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] J=(0) ?? Oder gilt das eben gerade nicht, weil das für alle y gelten muss, also auch für y= [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] ??
Aber dann würde das ja nie für Einheiten gelten, weil dann immer Null rauskommt und 0 ja keine Einheit ist. Ja, das macht auch irgendwie Sinn, weil ja ein maximales Ideal keine Einheit enthält...
Ist denn dann dieses Lemma für Körper recht "überflüssig", oder?
Auch wenn ich denke, dass ich mir meine Fragen selbst beantwortet habe, vielleicht stimmt ja was dran nicht.
Vielen Dank schonmal
LG, hospie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Fr 19.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> ich habe da folgende Frage. Wenn jetzt A ein Körper, z.b. A
> = [mm]\IQ[/mm] ,ist, dann ist doch erstmal J = (0), weil das einzige
> maximale Ideal im Körper das Nullideal ist.
Richtig.
> Und es gilt doch (0) = [mm]\{0\},[/mm] oder??
Klaro. Das Nullideal ist ein Hauptideal
> Aber, da im Körper jedes Element außer die Null eine
> Einheit ist:
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2} \in \IQ ^{\times}[/mm]
>
> also [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm] J=(0) ?? Oder gilt das eben gerade
> nicht, weil das für alle y gelten muss, also auch für y=
> [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] ??
Es gilt eben aus diesem Grund nicht. Es muss für alle [mm] $y\in [/mm] A$ gelten [mm] $1-xy\in A^\times$, [/mm] und für jedes Element [mm] $x\ne0$ [/mm] aus einem Körper ist eben [mm] $1-xx^{-1}=0\not\in A^\times$, [/mm] also [mm] $x\in J(A)\gdw x\not\in A^\times$.
[/mm]
> Aber dann würde das ja nie für Einheiten gelten, weil dann
> immer Null rauskommt und 0 ja keine Einheit ist. Ja, das
> macht auch irgendwie Sinn, weil ja ein maximales Ideal
> keine Einheit enthält...
Genau.
> Ist denn dann dieses Lemma für Körper recht "überflüssig", oder?
Ringtheorie ist für Körper ohnehin meist trivial. Dennoch hast du doch immerhin rausbekommen, dass das Lemma für Körper gilt, ist ja schonmal ein Anfang 
Gruß, Robert
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