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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 11.02.2007 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^3 \to IR^3, [/mm] f(x,y,z) = (xsin(y), xcos(y),z) und g: [mm] IR^3 \to IR^2, [/mm] g(u,v,w)= [mm] (u^2+v^2,w). [/mm] Berechne D(g [mm] \circ [/mm] f) mit Hilfe der Kettenregel und direkt (d.h. berechne erst h:= g [mm] \circ [/mm] f und dann Dh) |
Ich weiß nicht wie man die Verknüpfungen berechnet.
Df(x,y,z)= [mm] \pmat{ sin(y) & xcos(y) & 0 \\ cos(y) & -xsin(y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Dg(u,v,w)= [mm] \pmat{ 2u & 2v & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
D(g [mm] \circ [/mm] f)(x,y,z)= [mm] \pmat{ 2x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
g [mm] \circ [/mm] f = [mm] (x^2, [/mm] 0, z)
also wie man Df und Dg kommt ist mir klar, aber bei dem rest weiß ich nicht weiter.... wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Du hast ja schon alle Vorarbeit geleistet. Vielleicht ist das Problem u, v und w zu bestimmen. Also
$$
[mm] (u,v,w)^t=f(x,y,z)=(x\sin(y),x\cos(y),z)^t
[/mm]
$$
und damit
$$
[mm] Dg(f(x,y,z))\circ (Df)(x,y,y)=\pmat{ 2x\sin(y) & 2x\cos(y) & 0 \\ 0 & 0 & 1} \circ\pmat{ sin(y) & xcos(y) & 0 \\ cos(y) & -xsin(y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ 2x(\sin(y)^2+\cos(y)^2) & 2x\cdot 0&0 \\ 0 & 0 & 1}.
[/mm]
$$
Das ist wegen [mm] $\cos(y)^2+\sin(y)^2=1$ [/mm] genau [mm] D(g\circ [/mm] f)(x,y,z)$. D.h. die Kettenregel ist erfüllt.
Volker
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