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| Aufgabe | Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion
f:(0, [mm] \infty) \times [/mm] [0, [mm] 2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2: [/mm] (r, [mm] \omega) \mapsto (rsin\omega, rcos\omega).
[/mm]
Erklären Sie die Bedeutung dieser Funktion. |
Hallo,
also das ist ja eigentlich gar nicht schwer und geht ganz schnell.
[mm] \bruch{\delta f}{\delta r}= (sin\omega, cos\omega)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta \omega}= (rcos\omega, -rsin\omega).
[/mm]
Bis hierhin müsste ja alles stimmen, ne?
Und nun stellt sich mir die Frage ob ich das ganze transponiere und in die Jacobi-Matrix schreibe, oder als Zeilenvektoren eintragen muss...Denn ersteres würde ja ne schöne Drehmatrix liefern, aber ich bin mir nicht sicher ob ich das transponieren darf....
Danke für Antworten.
Beste Grüße
congo.
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Hallo congo.hoango,
> Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion
>
> f:(0, [mm]\infty) \times[/mm] [0, [mm]2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2:[/mm] (r,
> [mm]\omega) \mapsto (rsin\omega, rcos\omega).[/mm]
> Erklären Sie
> die Bedeutung dieser Funktion.
> Hallo,
>
> also das ist ja eigentlich gar nicht schwer und geht ganz
> schnell.
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta r}= (sin\omega, cos\omega)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta \omega}= (rcos\omega, -rsin\omega).[/mm]
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> Bis hierhin müsste ja alles stimmen, ne? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und nun stellt sich mir die Frage ob ich das ganze
> transponiere und in die Jacobi-Matrix schreibe, oder als
> Zeilenvektoren eintragen muss...Denn ersteres würde ja ne
> schöne Drehmatrix liefern, aber ich bin mir nicht sicher
> ob ich das transponieren darf....
Fasse die Funktion auf als Funktion mit zwei Komponentenfunktionen [mm] $f(r,\omega)=(f_1(r,\omega),f_2(r,\omega))$
[/mm]
In der Jacobimatrix steht in der ersten Spalte der Vektor der Ableitungen der Komponentenfunktionen nach der ersten Variablen, also nach r, in der zweiten Spalte entsprechend der Vektor der Ableitung der beiden Komponentenfunktionen nach [mm] $\omega$
[/mm]
Also [mm] $J(r,\omega)=\pmat{\sin(\omega)&r\cdot{}\cos(\omega)\\\cos(\omega)&-r\cdot{}\sin(\omega)}$
[/mm]
>
> Danke für Antworten.
>
> Beste Grüße
> congo.
Gruß
schachuzipus
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Ah ok, danke!
Und wie kann ich die Abbildung nun deuten? ist ja praktisch ne Drehmatrix, bei der die Spalten vertauscht wurden und eine Spalte mit r multipliziert wurde...
Aber ich weiß nicht wirklich, was diese Abbildung macht. Kann man das auch geometrisch erklären?
Gruß
congo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 27.05.2010 | | Autor: | wieschoo |
Die Determinante einer Drehmatrix ist 1 und einer Spiegelmatrix -1. Außerdem haben die trigonometrischen Funktionen als Koeffizienten den selben Parameter.
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[mm]f:(0,\infty) \times [0, 2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2: (r, \omega) \mapsto (r\sin\omega, r\cos\omega).[/mm]
> Erklären Sie
> die Bedeutung dieser Funktion.
> Hallo,
Die Funktion beschreibt einen Kreis im [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] um die z-Achse.
Der Radius des Kreises ist r.
von der Seite
[Dateianhang nicht öffentlich]
von oben
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du das z noch als Parameter mit aufnimmst, dann ist das eine Kugel.
$x = r [mm] \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi$
[/mm]
$y = r [mm] \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \qquad [/mm] (0 [mm] \le \vartheta \le \pi [/mm] \ [mm] \wedge [/mm] 0 [mm] \le \varphi [/mm] < 2 [mm] \pi)$
[/mm]
$z = r [mm] \cdot \cos \vartheta$.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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