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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:56 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Hallo :)
also, das ist die schwierigste Aufgabe für mich.
Es liegt es Kreis in der xy-Fläche mit Radius a und das Mittelpunkt ist c vom Ursprung entfernt.
Nun wird der Krei gedreht um die xy-Fläche und wir haben eine Kugel, das hab ich verstanden :)
Nun soll ich diese Kugel mit Hilfe von zwei Winkeln beschreiben, einen um den Kreis zubeschreiben und einen um das Herumdrehen um die xy-Fläche zu ermöglichen.
hier ist mein Problem nun wieder eine Gleichung für die Kugel aufzustellen...
Also ich hab allgemein: dV= [mm] \rho^2 \sin [/mm] beta [mm] d\rho d\beta d\phi [/mm] aber wie passe ich das an diese Aufgabe an? ist a in diesem Fall [mm] \rho [/mm] ? oder doch c? Aber die Formel beinhaltet ja schon das Volumen, dann ist sie vielleicht für den Anfang doch falsch? und ich brauch sie erst nach der Jacobi-Matrix?
hmmm, ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoss geben...
Vielen Dank euch im vorraus :)
Liebe Grüße :)
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> Een torus kun je als volgt construeren:
>
> in de figur zie je een xy-aansicht. Er ligt ein cirkel met
> straal a op afstand c(>a) van de oorsprong. Als u nu deze
> cirkel rondraait in het xy-vlak vormt de ronddraaiende
> circel een torus (De y-richting staat dus loodrecht op het
> papier.)
>
> Vind een representatie van deze torus (je hebt twee hoeken
> nodig; een om de cirkel te beschrijven en de andere om het
> ronddraaien in het xy-vlak te bewerkstelligen.)
>
> Dit beschrijft een transformatie x,y,z naar twee hoeken en
> een afstand (de straal van de cirkel).
>
> Bepaal de Jacobiaan van deze transformatie.
> Bepaal hiermee het volume van de torus.
>
>
> Hallo :)
>
> also, das ist die schwierigste Aufgabe für mich.
> Es liegt es Kreis in der xy-Fläche mit Radius a und der
> Mittelpunkt ist c vom Ursprung entfernt.
> Nun wird der Kreis gedreht um die xy-Fläche und wir haben
> eine Kugel, das hab ich verstanden :)
> Nun soll ich diese Kugel mit Hilfe von zwei Winkeln
> beschreiben, einen um den Kreis zubeschreiben und einen um
> das Herumdrehen um die xy-Fläche zu ermöglichen.
> hier ist mein Problem nun wieder eine Gleichung für die
> Kugel aufzustellen...
> Also ich hab allgemein: dV= [mm]\rho^2 \sin[/mm] beta [mm]d\rho d\beta d\phi[/mm]
> aber wie passe ich das an diese Aufgabe an? ist a in
> diesem Fall [mm]\rho[/mm] ? oder doch c? Aber die Formel beinhaltet
> ja schon das Volumen, dann ist sie vielleicht für den
> Anfang doch falsch?
Kugelkoordinaten sind hier nicht sinnvoll ! (die ange-
gebene Formel ist für Kogelkoordinaten)
> und ich brauch sie erst nach der Jacobi-Matrix?
>
> hmmm, ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoss geben...
>
> Vielen Dank euch im vorraus :)
>
> Liebe Grüße :)
Hallo Alaizabel,
es wäre nützlich, wenn du die Figur noch hier rein-
stellen könntest, damit man sich die Lage des Torus
im Koordinatensystem klar vorstellen kann.
Liegt der ursprüngliche Kreis in der x-y-Ebene ?
Dann wird er jedoch nicht in dieser Ebene rum-
gedreht, sondern um die z-Achse als Rotationsachse.
Oder ist es anders ?
Eine mögliche Parametrisierung siehst du da:
![[]](/images/popup.gif) Torus
Ein Torus ist nicht eine Kugel, sondern so etwas wie
ein Fahrradschlauch (Autoschlauch kann man kaum
mehr sagen, weil heutige Autoreifen keine mehr brauchen)
LG Al-Chw.
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vielen dank für deine antwort :)
ich würde die grafik hier gerne reinstellen, aber es ist ein pdf dokument und ich weiß nicht wie das geht.
ich versuche es zu erklären:?
es ist nur die x und z-achse abgebildet ( quasi als kleines kosy um zu wissen was in welche richtung zeigt) x waagerecht und z senkrecht.
nun ist eine strecke abgebildet von 0 bis M diese strecke ist c lang. M ist der Mittelpunkt des abgebildeten Kreises mit dem Radius a.
wenn du mir sagen kannst wie ich das hier reinstellen kann, sags mir bitte, ich kann es auch nochmal abzeichnen...
vielen, vielen dank für deine mühe, ohne würde ich das niemals schaffen...
liebe grüße
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> vielen dank für deine antwort :)
> ich würde die grafik hier gerne reinstellen, aber es ist
> ein pdf dokument und ich weiß nicht wie das geht.
das kannst du da nachlesen: Bild einfügen
> ich versuche es zu erklären:?
> es ist nur die x und z-achse abgebildet ( quasi als
> kleines kosy um zu wissen was in welche richtung zeigt) x
> waagerecht und z senkrecht.
> nun ist eine strecke abgebildet von 0 bis M diese strecke
> ist c lang. M ist der Mittelpunkt des abgebildeten Kreises
> mit dem Radius a.
In diesem Fall entspricht dies dieser Grafik: Torus
Die Parametrisierung des Volltorus sieht dann etwa so aus:
[mm] $\vec{r}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{(c+r\,cos\,\alpha)\,cos\,\phi\\(c+r\,cos\,\alpha)\,sin\,\phi\\r\,sin\,\alpha\,\ }$
[/mm]
$\ [mm] 0\le r\le a\qquad 0\le \alpha\le 2\pi\qquad 0\le \phi\le 2\pi$
[/mm]
Jetzt stellst du dazu am besten einmal die Jacobimatrix auf,
um dann das Volumenelement dV zu berechnen.
Gruß Al
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Hallo Al,
vielen, vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
ich bin leider erst morgen wieder daheim, dann werde ich das bild einstellen, aber die Jacobimatrix habe ich auf meiner Reise schonmal berechnet:
[mm] Df(r,\alpha,\phi)=
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\cos\alpha\cos\phi & -\sin\alpha*r*\cos\phi & -\sin\phi*(\cos\alpha*r+c) \\
\cos\alpha\sin\phi & -\sin\alpha*r*\sin\phi & \cos\phi*(\cos\alpha*r+c) \\
\sin\alpha & \cos\alpha*r & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
stimmt das?
Schönen Abend :)
Liebe Grüße und nochmal vielen lieben Dank!
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Hallo Alaizabel,
> Hallo Al,
> vielen, vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
> ich bin leider erst morgen wieder daheim, dann werde ich
> das bild einstellen, aber die Jacobimatrix habe ich auf
> meiner Reise schonmal berechnet:
>
> [mm]Df(r,\alpha,\phi)=[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\cos\alpha\cos\phi & -\sin\alpha*r*\cos\phi & -\sin\phi*(\cos\alpha*r+c) \\
\cos\alpha\sin\phi & -\sin\alpha*r*\sin\phi & \cos\phi*(\cos\alpha*r+c) \\
\sin\alpha & \cos\alpha*r & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Schönen Abend :)
> Liebe Grüße und nochmal vielen lieben Dank!
Gruss
MathePower
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Vielen Dank!
okay, nun ist ja die aufgabe das Volumen zu berechnen.
Ich habe eine Formel gefunden zur Volumenberechnung eines Torus und zwar die:
[mm] V=2\pi^2Rr^2
[/mm]
das wäre ja in diesem Fall: [mm] V=2\pi^2cr^2
[/mm]
oder?
aber wozu habe ich dann die jacobimatrix berechnet?
die muss ich ja auch irgendwie benutzen können zur Berechnung des Volumens?
Vielen Dank und liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 20.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
ich hab was :)
ich hab die Determinate berechnet zu:
[mm] det=-r*(\cos\alpha*r+c)
[/mm]
dann dreifach integriert und bin auf:
[mm] V=-2*a^2*c*\pi^2 [/mm] gekommen :)
Kann das sein? Aber warum habe ich ein negatives Volumen?, bzw. eine negative Determinante? Liegt dort der Fehler?
Vielen liebe Dank :)
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> ich hab was :)
>
> ich hab die Determinate berechnet zu:
>
> [mm]det=-r*(\cos\alpha*r+c)[/mm]
>
> dann dreifach integriert und bin auf:
>
> [mm]V=-2*a^2*c*\pi^2[/mm] gekommen :)
>
> Kann das sein? Aber warum habe ich ein negatives Volumen?,
> bzw. eine negative Determinante? Liegt dort der Fehler?
>
> Vielen liebe Dank :)
Wenn's nur das Vorzeichen ist, ist das hier gar
kein Problem. Man soll den Betrag der
Determinante als Umrechnungsfaktor nehmen.
Das Vorzeichen hat nur mit der relativen Orien-
tierung der Achsenrichtungen zu tun (links-
oder rechtshändige Orientierung der Koordi-
natensysteme)
Schönen Sonntagnachmittag !
Al
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> Vielen Dank!
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> okay, nun ist ja die aufgabe das Volumen zu berechnen.
> Ich habe eine Formel gefunden zur Volumenberechnung eines
> Torus und zwar die:
>
> [mm]V=2\pi^2Rr^2[/mm]
>
> das wäre ja in diesem Fall: [mm]V=2\pi^2cr^2[/mm]
> oder?
>
> aber wozu habe ich dann die jacobimatrix berechnet?
> die muss ich ja auch irgendwie benutzen können zur
> Berechnung des Volumens?
>
> Vielen Dank und liebe Grüße :)
Hallo Alaizabel,
Die obige Formel könnte man auch durch gewöhnliche
Rotationskörper-Integrale berechnen bzw. mittels der
Zweiten Guldinschen Regel
Der Sinn der Aufgabe ist aber, die Methode mit der
Koordinatentransformation zu üben. Der Betrag der
Determinante der Jacobi-Matrix liefert den Umrech-
nungsfaktor zwischen den Volumenelementen
[mm] dx\,dy\,dz [/mm] (cartesische Koordinaten) und [mm] dr\,d\alpha\,d\phi
[/mm]
(Toruskoordinaten).
Bei Kugelkoordinaten wäre
$\ [mm] dx\,dy\,dz\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{r^2*sin(\theta)}_{Jacobi-Det}\,dr\,d\theta\,d\phi$
[/mm]
Mit den Formeln für den Torus ergibt sich natürlich
ein anderer Umrechnungsfaktor.
LG Al
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ich habe eine Seite gefunden:
Link-Text
dort ist das recht schön erklärt, jedoch verwirrt mich dir konstante s dort. was hat sie zu sagen? muss ich sie verwenden in meiner aufgabe?
ich habe sie einmal verwendet und auch über s integriert und komme auf das gleich ergebniss als wenn ich über die winkel und r integriere...
Wo ist der unterschied und was ist in diesem fall richtig?
vielen lieben dank für eine letzte antwort :) :)
schönen sonntagabend :)
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> ich habe eine Seite gefunden:
> Link-Text
>
> dort ist das recht schön erklärt, jedoch verwirrt mich
> die konstante s dort. was hat sie zu sagen? muss ich sie
> verwenden in meiner aufgabe?
> ich habe sie einmal verwendet und auch über s integriert
> und komme auf das gleich ergebnis als wenn ich über die
> winkel und r integriere...
> Wo ist der unterschied und was ist in diesem fall
> richtig?
>
> vielen lieben dank für eine letzte antwort :) :)
> schönen sonntagabend :)
Das s ist keine Konstante, sondern eine Hilfsvariable.
Das r dort entspricht unserem konstanten Radius a.
Wir haben r als Variable benützt, welche von 0 bis a
läuft. Stattdessen kann man die Variable [mm] s=\frac{r}{a}
[/mm]
benützen, welche dann von 0 bis 1 laufen muss.
Es handelt sich also um eine unwesentliche Änderung,
und richtig sind natürlich beide Wege !
Gruß  Al
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![[]](http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/6/8219_torus.png){kind=small}
Torus
