Jacobi-Determinante < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Do 04.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Zeige: Ist f : D [mm] \to \IC [/mm] reell diffbar, D [mm] \subset \IC [/mm] offen, so gilt für die Jacobi- Determinante:
det(D f) = [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2} [/mm] - [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2} [/mm] |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben. Ich weiß nicht, wie ich diese Gleichheit beweisen soll.
Es ist doch f(x + iy) = [mm] \vektor{u(x,y) \\ v(x,y)}
[/mm]
Ich weiß, dass det (D f) = [mm] \vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial y} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial v}{ \partial y}} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & - \bruch{\partial v}{ \partial x} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial x}} [/mm] weil die Cauchy-Riemann- Gleichungen gelten.
Und das ist dann gleich [mm] {\bruch{ \partial u}{ \partial x}}^2 [/mm] + [mm] {\bruch{ \partial v}{ \partial x}}^2
[/mm]
Das ganze muss doch jetzt gleich [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2} [/mm] - [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2} [/mm] sein oder?
Ich weiß, dass nach den Wirtinger-Ableitungen gilt:
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x} [/mm] - i [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial y}) [/mm] und [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x} [/mm] + i [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial y})
[/mm]
Aber wie bekomme ich jetzt daraus die Gleichheit det(D f) = [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2} [/mm] - [mm] \vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2}?
[/mm]
Ich hoffe, es hilft mir jemand weiter.
Liebe Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> Zeige: Ist f : D [mm]\to \IC[/mm] reell diffbar, D [mm]\subset \IC[/mm]
> offen, so gilt für die Jacobi- Determinante:
>
> det(D f) = [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2}[/mm] -
> [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben. Ich weiß
> nicht, wie ich diese Gleichheit beweisen soll.
> Es ist doch f(x + iy) = [mm]\vektor{u(x,y) \\ v(x,y)}[/mm]
Genau.
> Ich weiß, dass det (D f) = [mm]\vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial y} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial v}{ \partial y}}[/mm]
> = [mm]\vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & - \bruch{\partial v}{ \partial x} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial x}}[/mm]
> weil die Cauchy-Riemann- Gleichungen gelten.
Wieso sollten die gelten? Da steht doch nirgendswo dass die Funktion komplex diffbar ist! Ausserdem: Wenn sie gelten wuerden, so waere [mm] $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} [/mm] = 0$, da dies gerade aequivalent dazu ist das die CR-DGln gelten!
> Und das ist dann gleich [mm]{\bruch{ \partial u}{ \partial x}}^2[/mm]
> + [mm]{\bruch{ \partial v}{ \partial x}}^2[/mm]
>
> Das ganze muss doch jetzt gleich [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2}[/mm]
> - [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2}[/mm]
> sein oder?
Ja, wenn du die Determinante oben ohne Ausnutzung der CR-DGln ausrechnest.
> Ich weiß, dass nach den Wirtinger-Ableitungen gilt:
>
> [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial z}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x}[/mm]
> - i [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial y})[/mm] und [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial x}[/mm] + i
> [mm]\bruch{ \partial f}{ \partial y})[/mm]
>
> Aber wie bekomme ich jetzt daraus die Gleichheit det(D f) =
> [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial z}}^{2}[/mm] - [mm]\vmat{ \bruch{ \partial f}{ \partial \overline{z}}}^{2}?[/mm]
Setz in den Ausdruck hinten doch mal die Formeln des Wirthinger-Kalkuels ein und schreib das aus. Und vergleiche es dann mit der Determinante der eigentlichen Matrix (also ohne CR-DGln).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Felix,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe :)
Ich hab deinen Rat befolgt, aber leider komm ich nicht viel weiter.
Also die det(Df) = [mm] \vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial y} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial v}{ \partial y}}
[/mm]
Jetzt soll ich doch in [mm] \vmat{\bruch{ \partial f}{\partial z}}^{2} [/mm] - [mm] \vmat{\bruch{ \partial f}{\partial \overline{z}}}^{2} [/mm] die Wirtinger Ableitungen einsetzen oder?
Das hab ich gemacht und erhalte:
[mm] \vmat{\bruch{ \partial f}{\partial z}}^{2} [/mm] = [mm] \vmat{\bruch{1}{2}( \bruch{ \partial f}{\partial x} - i \bruch{ \partial f}{\partial y})}^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (\bruch{ \partial f}{\partial x} [/mm] - i [mm] \bruch{ \partial f}{\partial y}) [/mm] * [mm] (\bruch{ \partial f}{\partial x} [/mm] + i [mm] \bruch{ \partial f}{\partial y}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(\bruch{ \partial^{2} f}{\partial x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{ \partial^{2} f}{\partial y^{2}})
[/mm]
Das gleiche hab ich nun für [mm] \vmat{\bruch{ \partial f}{\partial \overline{z}}}^{2} [/mm] herrausbekommen, und wenn ich dann die Diferenz bilde dann kommt 0 heraus. Das soll doch nicht sein oder?
Außerdem weiß ich nicht, wie ich das mit der Determinante vergleichen soll, die sieht ja ganz anders aus als das, was ich für die rechte Seite herausbekommen hab.
Mach ich was falsch? Ich versteh das nicht so richtig.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank nochmals für deine Hilfe. :)
Viele Grüße und schönen Abend,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> vielen Dank erstmal für deine Hilfe :)
> Ich hab deinen Rat befolgt, aber leider komm ich nicht
> viel weiter.
> Also die det(Df) = [mm]\vmat{ \bruch{ \partial u}{ \partial x} & \bruch{\partial u}{ \partial y} \\ \bruch{\partial v}{ \partial x} & \bruch{\partial v}{ \partial y}}[/mm]
>
> Jetzt soll ich doch in [mm]\vmat{\bruch{ \partial f}{\partial z}}^{2}[/mm]
> - [mm]\vmat{\bruch{ \partial f}{\partial \overline{z}}}^{2}[/mm]
> die Wirtinger Ableitungen einsetzen oder?
Genau.
> Das hab ich gemacht und erhalte:
>
> [mm]\vmat{\bruch{ \partial f}{\partial z}}^{2}[/mm] =
> [mm]\vmat{\bruch{1}{2}( \bruch{ \partial f}{\partial x} - i \bruch{ \partial f}{\partial y})}^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4} (\bruch{ \partial f}{\partial x}[/mm] - i [mm]\bruch{ \partial f}{\partial y})[/mm]
> * [mm](\bruch{ \partial f}{\partial x}[/mm] + i [mm]\bruch{ \partial f}{\partial y})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}(\bruch{ \partial^{2} f}{\partial x^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{ \partial^{2} f}{\partial y^{2}})[/mm]
Vorsicht, du hast zwei Fehler gemacht! Einmal ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] nicht gleich [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, [/mm] sondern gleich [mm] $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2$ [/mm] -- das d zwei voellig verschiedene Objekte!
Dann hast du ignoriert, dass [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] nicht reelwertig, sondern komplexwertig ist! Schau dir mal die Definition von [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] an (und das gleiche fuer [mm] $\partial [/mm] x$ im Nenner), setze das schon vorne ein, dann sortiere nach Imaginaerteil und Realteil und dann Rechne erst das Quadrat vom Betrag aus!
LG Felix
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