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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Riley |
hallo!
Ich hab grad schon einige viele posts zur JNF durchgelesen, auch das coole skript "kochen mit jordan".
versteh aber ein paar sachen noch nicht ganz:
- wenn ich die eigenräume bestimmt hab, muss ich die haupträume bestimmen. muss ich dazu (A- [mm] \lambda [/mm] E) so lang potenzieren, bis null rauskommt? aber das funktioniert nur bei nilpotenten matrizen, oder?
und die basis der haupträume erhalte ich durch kern(A- [mm] \lambda)^n [/mm] (Fundam.lösungen) ??
- wenn das minimalpoly in linearfaktoren zerfällt, kann man die matrix auf jeden fall auf diagonalform bringen, oder?
was wenn nicht? hab gelesen es gibt eine "relle version der JNF" oder so ähnlich, ist das dann mit hilfe der zerlegungssätze?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 01.08.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Riley
> - wenn ich die eigenräume bestimmt hab, muss ich die
> haupträume bestimmen. muss ich dazu (A- [mm]\lambda[/mm] E) so lang
> potenzieren, bis null rauskommt? aber das funktioniert nur
> bei nilpotenten matrizen, oder?
> und die basis der haupträume erhalte ich durch kern(A-
> [mm]\lambda)^n[/mm] (Fundam.lösungen) ??
nein, es muss nicht immer null rauskommen... du musst nur [mm]Ker(A-\lambda)^{n}[/mm] ausrechnen, und zwar solange, bis sich der kern nicht mehr ändert... das ist spätestens der fall, für [mm]n=algebr.Vielfachheit(\lambda)[/mm]
wenn zum beispiel das char. polynom [mm](x-2)^3[/mm] enthält, musst du zum EW [mm] \lambda=2 [/mm] höchstens den kern [mm]Ker(A-2)^3[/mm] ausrechnen (es kann natürlich sein, dass schon [mm] Ker(A-2)^{2}=Ker(A-2) [/mm] - dann brauchst du [mm] Ker(A-2)^{3} [/mm] nicht mehr...)
> - wenn das minimalpoly in linearfaktoren zerfällt, kann man
> die matrix auf jeden fall auf diagonalform bringen, oder?
> was wenn nicht? hab gelesen es gibt eine "relle version
> der JNF" oder so ähnlich, ist das dann mit hilfe der
> zerlegungssätze?
nein, ein zerfallendes minimalpolynom (oder charakteristisches poly) reicht nicht, dass die matrix diagonalisierbar ist...
gegeneispiel: [mm] \pmat{1&1\\0&1} [/mm] hat das char. poly und minimalpolynom [mm](x-1)^2[/mm], lässt sich aber nicht diagonalisieren.
für diagonalisierbarkeit (einer nxn-matrix) muss es [mm]n[/mm] linear unabhängige eigenvektoren geben. (bei mehreren eigenwerten müssen es insgesamt [mm]n[/mm] lin. unabh. eigenvektoren sein)
wenn das char. polynom zerfällt, gibt es eine reelle JNF, weil du dann ja nur reelle eigenwerte hast. wenn es nicht zerfällt, kriegst du imaginäre eigenwerte, und die tauchen dann auch in der JNF auf...
ich hoffe das hat dir geholfen..
lieben gruß,
Flo
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