Iterierte Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 02.03.2009 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Sei [mm] f(x,y)=\bruch{x+y*cos\bruch{1}{y}}{x+y} [/mm] für 0 [mm] \not= [/mm] y [mm] \not= [/mm] -x. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte [mm] \limes_{y\rightarrow0}\limes_{x\rightarrow0}f(x,y) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow0}\limes_{y\rightarrow0} [/mm] f(x,y). Existiert der Grenzwert [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)? [/mm] |
Ich habe ganz ehrlich keinen Plan was ich hier zu tun habe. Bitte um Hinweise/Hilfe.
Danke!
|
|
| |
|
> Sei [mm]f(x,y)=\bruch{x+y*cos\bruch{1}{y}}{x+y}[/mm] für 0 [mm]\not=[/mm] y
> [mm]\not=[/mm] -x. Man untersuche und vergleiche die iterierten
> Grenzwerte
> [mm]\limes_{y\rightarrow0}\limes_{x\rightarrow0}f(x,y)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\limes_{y\rightarrow0}[/mm] f(x,y).
> Existiert der Grenzwert
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)?[/mm]
> Ich habe ganz ehrlich keinen Plan was ich hier zu tun
> habe. Bitte um Hinweise/Hilfe.
>
Hallo!
Du musst hier die Grenzwerte einzeln untersuchen, also:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x+y*cos\bruch{1}{y}}{x+y} [/mm] = ... = [mm] \cos\left( \frac{1}{y}\right)$
[/mm]
Anschließend:
[mm] \limes_{y\rightarrow0}\cos\left( \frac{1}{y}\right)
[/mm]
Nun musst du außerdem noch zuerst y gegen 0 laufen lassen und anschließend x gegen Null.
Wenn du das gemacht hast, solltest du auch eine Aussage über die Existenz des GW [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) [/mm] machen können.
LG Patrick
> Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 03.03.2009 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Man bilde den iterierten Grenzwert: [mm] f(x,y)=\bruch{x+y-cos\bruch{1}{y}}{x+y} [/mm] mit 0 [mm] \not= [/mm] y [mm] \not= [/mm] -x |
mein lösungsansatz:
also [mm] \limes_{y\rightarrow0}\limes_{x\rightarrow0}=
[/mm]
mal x gegen 0: [mm] \bruch{y-cos\bruch{1}{y}}{y}=-cos\bruch{1}{y}
[/mm]
dann y gegen 0: [mm] -cos\bruch{1}{0}
[/mm]
da ich nicht durch 0 dividieren kann, existiert der grenzwert nicht
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\limes_{y\rightarrow0}=
[/mm]
y gegen 0: [mm] \bruch{x+0-cos\bruch{1}{0}}{x+0}
[/mm]
hier existiert kein grenzwert (zumindest nehm ich das an, wegen der divisionen durch 0)
was ist aber meine aussage für den gemeinsamen iterierten grenzwert?
|
|
|
| |
|
> Man bilde den iterierten Grenzwert:
> [mm]f(x,y)=\bruch{x+y-cos\bruch{1}{y}}{x+y}[/mm] mit [mm]0\not= y \not= -x[/mm]
Also als erstes solltest du dich mal entscheiden, wovon du den Grenzwert untersuchen sollst, denn du gibst hier verschiedene Funktionen an, einmal
[mm]f(x,y)=\bruch{x+y-cos\bruch{1}{y}}{x+y}[/mm]
und einmal
[mm]f(x,y)=\bruch{x+y*cos\bruch{1}{y}}{x+y}[/mm]
Also um welche Funktion geht es denn?
> mein lösungsansatz:
>
> also [mm]\limes_{y\rightarrow0}\limes_{x\rightarrow0}=[/mm]
>
> mal x gegen 0:
> [mm]\bruch{y-cos\bruch{1}{y}}{y}=-cos\bruch{1}{y}[/mm]
Also hier hast du einen Fehler drin, wenn es denn wirklich [mm]y-cos\bruch{1}{y}}[/mm] heissen sollte, ansonsten stimmt es, wenn du das - weglässt.
> dann y gegen 0: [mm]-cos\bruch{1}{0}[/mm]
> da ich nicht durch 0 dividieren kann, existiert der
> grenzwert nicht
Hm, die Begründung allein reicht nicht. Wenn du so begründest, wäre bei dir [mm] \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{y^2}{y} [/mm] ja auch nicht existent, weil das [mm] \bruch{0}{0} [/mm] wäre..... dem ist aber nicht so.
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\limes_{y\rightarrow0}=[/mm]
>
> y gegen 0: [mm]\bruch{x+0-cos\bruch{1}{0}}{x+0}[/mm]
>
> hier existiert kein grenzwert (zumindest nehm ich das an,
> wegen der divisionen durch 0)
So, und da haben wir den Salat, wenn da wirklich [mm] y*cos\bruch{1}{y} [/mm] stehen sollte.
Wogegen strebt denn [mm]y*cos(\bruch{1}{y})[/mm] für [mm]y\to 0[/mm] ?
Nimm dazu das Majorantenkriterium und überlege, wie du [mm] cos\bruch{1}{y} [/mm] abschätzen kannst.
> was ist aber meine aussage für den gemeinsamen iterierten
> grenzwert?
Wenn
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm]
existiert, was weisst du dann über
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\limes_{y\rightarrow 0}f(x,y) [/mm] und
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}\limes_{x\rightarrow 0}f(x,y) [/mm] ?
MfG,
Gono.
|
|
|
|
