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| Aufgabe | Im abgeschlossenen Intervall G = [ [mm] \bruch{\pi}{6}, \bruch{\pi}{3}] [/mm] sei die Funktion g definiert duch g(x) = cot(x), x [mm] \in [/mm] G.
Zeigen Sie, dass für keinen Anfangswert [mm] x_0 \not= [/mm] z, [mm] x_0 \in [/mm] G, das Iterationsverfahren [mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] g(x_t) [/mm] gegen z konvergiert, also z ein abstoßender Fixpunkt von g ist. |
Hallo
Ich würde gerne wissen wie man das Formal korrekt beweisen kann.
Meine Gedanken bisher:
Banachscher Fixpunktsatz - Voraussetzungen:
1. G= abgeschlossene Teilmenge von C --- Stimmt soweit
2. g(G) [mm] \subset [/mm] G --- da ist ein dicker Fehler, da g(x) = cot(x), x [mm] \in [/mm] G aus G hinausfällt für x -> [mm] \bruch{\pi}{6}
[/mm]
3. g ist eine Kontraktion --- da 2) nicht erfüllt ist, kann 3 also auch nicht stimmen.
Aber die Verletzung zeigt wahrscheinlich nicht, dass das Iterationsverfahren für alle [mm] x_0 [/mm] nicht gegen z konvergiert, oder?
Wäre über einen Weg sehr erfreut 
Gruß Guido
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 30.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
Achja, unser Verfahrn:
[mm] x_0 [/mm] = Startpunkt
[mm] x_{t+1} [/mm] = [mm] g(x_t), [/mm] t= 0, 1, ...
[mm] x_t \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] t
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Ähm - hab ich's mit den Augen oder steht da wirklich nirgends, was als z gegeben ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mi 31.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
z ist bei sowas immer gegeben durch cotz=z, und dieser Punkt existiert in dem Intervall.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mi 31.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
|g'(x)|>1 im ganzen Intervall, d,h, keine Kontraktion.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
Guten Morgen
danke für die Antwort
Leider seh ich da keinen großen Beweis drin. Aber ich werde des mal so abgeben, mit meinen Bedenken zur Erfüllung der Voraussetzungen unddem Hinweis, dass der Betrag der Ableitung > 1 ist und dadurch g(x) keine Kontraktion.
Gruß guido
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
oh....des würde auch zeigen dass g(x) nicht Teilmenge von G ist, oder?
Dann wäre es natürlich super 
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