Iteration < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] 0,006423 =\bruch{x*(4-2x)^2}{(1-x)*(3-2x)^2}*30^{-2}[/mm] |
Hallo,
ich hoffe ich bin im Themenbaum in der korrekten Abteilung gelandet 
diese Gleichung muss ich für Thermodynamik nach x auflösen, dies soll ich nun mit einer Iteration machen, leider weiß ich nicht wie ich dabei am besten vorgehen soll (also grundsätzlich wie das geht) ich kann ja nicht wild drauf losraten, oder doch?
Ich weiß jedoch aufgrund anderer Informationen die jedoch für die Lösung weiter keine Bedeutung haben, dass x zwischen 0 und 1 liegen muss.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Mfg Aldiimwald
|
|
| |
|
Hallo, das sieht doch nach dem Newtonverfahren aus, löse also die Klammern auf, stelle dann so um, dass auf einer Seite der Gleichung Null steht, mit Excel und dem Startwert 1 bekommst du 0,61661066764165, Steffi
|
|
|
| |
|
nunja.....in der klausur hilft mir excel leider nicht!
wie gehe ich denn da vor?
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
Mit dem Newtonverfahren könnte dies sehr schwierig
werden, da man dazu den Term ableiten muss. Die
von Steffi angegebene Lösung ist übrigens falsch.
Man kann aber versuchen, die Gleichung auf die
Form g(x)=x zu bringen und dann ausgehend von
einem Startwert [mm] x_0 [/mm] mittels der Iterationsfolge
[mm] x_{n+1}=g(x_n)
[/mm]
sich einer Lösung zu nähern. Im vorliegenden
Fall könnte man z.B. die vorgegebene Gleichung
$ 0,006423 [mm] =\bruch{\blue{x}\cdot{}(4-2x)^2}{(1-x)\cdot{}(3-2x)^2}\cdot{}30^{-2} [/mm] $
durch Freistellung des blau markierten "x"
umformen zu:
x = $\ [mm] \underbrace{0.006423*30^2*\bruch{(1-x)*(3-2x)^2}{(4-2x)^2}}_{g(x)}$
[/mm]
Allerdings divergiert dann die damit gebildete Itera-
tionsfolge, da der Graph von g in der Umgebung des
gesuchten Schnittpunktes mit der Geraden y=x zu
steil ist. Man kann aber in diesem Fall die Funktion g
durch eine Hilfsfunktion h ersetzen, die man so bilden
kann:
1.) Man bestimme einen Schätzwert k für den Wert
der Ableitung von g im Bereich der gesuchten Lösung.
2.) Man setze [mm] h(x):=\bruch{k*x-g(x)}{k-1} [/mm]
3.) Nun wählt man einen geeigneten Startwert [mm] x_0
[/mm]
und iteriert darauf die Funktion h.
Im vorliegenden Beispiel kommt man mit k=-3 und
dem Startwert [mm] x_0=0.5 [/mm] nach wenigen Schritten zur
Lösung x=0.6887
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 26.02.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
Ahhh genial!!!
Vielen Dank!
dieses Verfahren werde ich mir in jedem Fall merken, habe auch 0,688 heraus....
|
|
|
| |
|
> [mm]0,006423 =\bruch{x*(4-2x)^2}{(1-x)*(3-2x)^2}*30^{-2}[/mm]
> diese Gleichung muss ich für Thermodynamik nach x auflösen,
> dies soll ich nun mit einer Iteration machen, .....
Hallo,
Ich habe mich bei meiner ersten Antwort ein Stück weit
von dem Hinweis "Iteration" verleiten lassen.
Was man bei dieser Gleichung zuallererst tun sollte:
vereinfachen !
Man kommt auf eine kubische Gleichung, die man dann
sehr wohl auch mit dem Newtonverfahren lösen kann,
wie Steffi21 vorgeschlagen hat.
Gruß Al-Chw.
|
|
|
|
