Ist f stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f:[-2,2] [mm] \to \IR, [/mm] f(x)= [mm] x^5+2^4+16x-32+\wurzel{|x|}.
[/mm]
(i) Ist f beschränkt? Ist f stetig?
(ii) Bestitzt f ein Maximum und/oder ein Minimun? |
Meine Idee ist es, zu zeigen, dass f stetig ist. Doch mein Problem hierbei ist der Deffinitionsbereich f:[-2,2] [mm] \to \IR.
[/mm]
Hat jemand einen Tip für mich wie ich hier einen Ansatz finden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:[-2,2] [mm]\to \IR,[/mm] f(x)= [mm]x^5+2^4+16x-32+\wurzel{|x|}.[/mm]
>
> (i) Ist f beschränkt? Ist f stetig?
> (ii) Bestitzt f ein Maximum und/oder ein Minimun?
> Meine Idee ist es, zu zeigen, dass f stetig ist.
Gute Idee !
> Doch mein
> Problem hierbei ist der Deffinitionsbereich f:[-2,2] [mm]\to \IR.[/mm]
Wo ist das Problem ? f ist die Summe von stetigen Funktionen auf [-2,2] !
FRED
>
> Hat jemand einen Tip für mich wie ich hier einen Ansatz
> finden kann?
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Mein Problem ist es, dass ich mit der Aussage:
"f ist die Summe von stetigen Funktionen auf [-2,2]"
nicht zurecht komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Was genau ist Dein Problem ??
die Funktionen [mm] x^5, [/mm] 16x und [mm] \wurzel{|x|} [/mm] sind doch stetig oder nicht ?
Dann hast Du noch die konstanten Funktionen [mm] 2^4 [/mm] und -32
FRED
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Ich kann die Summanden unabhängig voneinander auf stetigkeit untersuchen?
Schon mal Danke für die Tipps!
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Hiho,
es gibt doch Kompositionssätze für stetige Funktionen, z.B.
Seien f und g stetige Funktionen, so auch: $f+g, f-g, f*g, [mm] f\circ [/mm] g$ und sogar [mm] \bruch{f}{g}, [/mm] wenn $g [mm] \not= [/mm] 0$ f.A. x.
D.h. wenn du weisst, dass alle Funktionenteile für sich stetig sind, so auch die Zusammenstellungen der Funktionen.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 13.01.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe die selbe Aufgabe und habe nun Probleme mit der Frage, ob die Funktion beschränkt ist.
ich denke mal das die Aussage:
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn die Bildmenge in einem abgeschlossenen Intervall von IR liegt. Das heißt, die y-Werte nehmen nur Werte in einem abgeschlossenen Teilbereich von der ganzen y-Achse an.
nicht aussreicht. Wenn da was mit n wäre würde ich sagen ich verwende die vollständige Induktion, aber das ist ja nicht der Fall.
Kann mir vlt jemand einen Anstoß geben.
Ich bedanke mich im voraus.
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo melisa,
stell deine Frage doch bitte nächstemal auch als solche und nicht als Antwort 
Zu deiner Frage: Schau mal, was ihr zu Maximum und Minimum stetiger Funktionen auf abgeschlossenen bzw. kompakten Intervallen hattet.
Das führt dich zum Ziel.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Do 14.01.2010 | | Autor: | melisa1 |
Guten Morgen,
wir haben einen Satz der sagt, jede in einem Kompakten intervall stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihren Maximum und Minimum an.
Da ich ja schon gesezeigt habe, dass die Funktion stetig ist, weiß ich mit diesem Satz auch, dass die Funktion beschränkt ist. Aus diesem Satz beantwortet sich dann auch die nächste Frage: Bestitzt f ein Maximum und/oder ein Minimun? Es besitzt ein Max und Min.
Oder liege ich da falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
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> wir haben einen Satz der sagt, jede in einem Kompakten
> intervall stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihren
> Maximum und Minimum an.
> Da ich ja schon gesezeigt habe, dass die Funktion stetig
> ist, weiß ich mit diesem Satz auch, dass die Funktion
> beschränkt ist. Aus diesem Satz beantwortet sich dann auch
> die nächste Frage: Bestitzt f ein Maximum und/oder ein
> Minimun? Es besitzt ein Max und Min.
>
> Oder liege ich da falsch.
Nein, Du liegst völlig richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 14.01.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | (iii) Zeigen Sie, dass f mindestens eine Nullstelle besitzt
(iv) Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x)=-1 mindestens eine Lösung besitzt |
Hallo,
die Aufgabe geht wie oben beschrieben weiter.
Muss ich die auch wie bei (i) und (ii) mit Sätzen Zeigen wenn ja muss ich nochmal suchen, weil ich nichts gescheites gefunden habe. Wenn nicht wie geh ich dann an die Aufgaben ran?
Ich habe zum Beispiel den Satz jedes Polynom ungeraden Gerades besitzt mindestens eine Nullstelle kann ich das als Begründung für iii nehmen?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Finde zwei Zahlen [mm] $a,b\in[-2,2]$ [/mm] mit [mm] $f(a)\le [/mm] 0$ und [mm] $f(b)\ge [/mm] 0$. Da f stetig ist, muss (Zwischenwertsatz) f in [a,b] eine Nullstelle haben!
Genauso geht es mit der Gleichung $f(x)=-1$, das bedeutet ja nix weiter als dass die stetige Funktion [mm] $x\mapsto f(x)\red{+}1$ [/mm] eine Nullstelle auf $[-2,2]$ haben soll.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 14.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
du meinst die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + 1 $ sollte eine Nullstelle haben 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Do 14.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> du meinst die Funktion [mm]x \mapsto f(x) + 1[/mm] sollte eine Nullstelle haben
Oh... ja natürlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 14.01.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
das versteh ich jetzt nicht warum muss da + hin? in der Aufgabe steht doch - :S
Lg Melisa
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Hallo melisa,
zu zeigen ist, dass es eine Stelle [mm] $x_0\in[-2,2]$ [/mm] gibt mit [mm] $f(x_0)=-1$
[/mm]
Das ist doch äquivalent dazu, dass [mm] $f(x_0)+1=0$ [/mm] ist.
Definiere also eine Funkion $g(x):=f(x)+1$, so ist g ebenfalls stetig auf [-2,2], und es ist äquivalent zu zeigen, dass es eine Nulltelle von $g$ in $[-2,2]$ gibt ...
LG
schachuzipus
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