Isomorphismus L-Struktur < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Di 11.12.2012 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | | Wir definieren [mm] \IR^{>} [/mm] = [mm] \{ x \in \IR : x > 0 \}. [/mm] Sei L eine Sprache der Logik erster Stufe mit einem zweistelligem Funktionssymbol G. Zeigen Sie, dass [mm] (\IR, [/mm] +) und [mm] (\IR^{>}, [/mm] *) isomorphe L-Strukturen sind. |
Mein Gedankengang ging ungefähr so:
Da wir hier Isomorphie zeigen wollen, brauchen wir eine Bijektion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR^{>}. [/mm]
Zudem definiere ich jetzt mal: r+ ist ein Element aus [mm] \IR [/mm] und r* ist ein Element aus [mm] \IR^{>}
[/mm]
Und wir brauchen eine Funktion F, für die gilt:
F(r+) = r*
F( + [mm] (r_{1}, r_{2}) [/mm] ) = [mm] F(r_{1}) [/mm] * [mm] F(r_{2})
[/mm]
oder anders formuliert:
[mm] F(r_{1} [/mm] + [mm] r_{2}) [/mm] = [mm] F(r_{1}) [/mm] * [mm] F(r_{2})
[/mm]
Jetzt bin ich auf die Idee gekommen, das folgendermaßen zu schreiben:
F(r) = [mm] 2^{r}, [/mm] denn für das r kann man nun ein beliebiges r [mm] \in \IR [/mm] setzen, es kommt eine Zahl aus [mm] \IR^{>} [/mm] heraus. Man kann dies auch wieder rückgängig machen, also aus [mm] 2^{r} [/mm] => r
Genauso werden auch die anderen beiden Regeln gelten:
F( +(r1, r2)) = [mm] 2^{r1 + r2} [/mm] = [mm] 2^{r1} [/mm] * [mm] 2^{r2} [/mm] = F(r1) * F(r2)
Habe ich damit bewiesen, dass die beiden L-Strukturen isomorph sind? Wie kann ich dabei am besten die Bijektion von F(r) zeigen? Oder muss ich einen anderen Weg wählen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 11.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki,
> Mein Gedankengang ging ungefähr so:
>
> Da wir hier Isomorphie zeigen wollen, brauchen wir eine
> Bijektion von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR^{>}.[/mm]
>
> Zudem definiere ich jetzt mal: r+ ist ein Element aus [mm]\IR[/mm]
> und r* ist ein Element aus [mm]\IR^{>}[/mm]
>
> Und wir brauchen eine Funktion F, für die gilt:
>
> F(r+) = r*
> F( + [mm](r_{1}, r_{2})[/mm] ) = [mm]F(r_{1})[/mm] * [mm]F(r_{2})[/mm]
> oder anders formuliert:
> [mm]F(r_{1}[/mm] + [mm]r_{2})[/mm] = [mm]F(r_{1})[/mm] * [mm]F(r_{2})[/mm]
für alle [mm] $r_1,r_2\in\IR$.
[/mm]
> Jetzt bin ich auf die Idee gekommen, das folgendermaßen zu
> schreiben:
>
> F(r) = [mm]2^{r},[/mm] denn für das r kann man nun ein beliebiges r
> [mm]\in \IR[/mm] setzen, es kommt eine Zahl aus [mm]\IR^{>}[/mm] heraus. Man
> kann dies auch wieder rückgängig machen,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist in der Tat ein Isomorphismus zwischen den beiden $L$-Strukturen.
> also aus [mm]2^{r}[/mm] => r
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Genauso werden auch die anderen beiden Regeln gelten:
> F( +(r1, r2)) = [mm]2^{r1 + r2}[/mm] = [mm]2^{r1}[/mm] * [mm]2^{r2}[/mm] = F(r1) * F(r2)
> Habe ich damit bewiesen, dass die beiden L-Strukturen
> isomorph sind?
Wenn du die Bijektivität von F zeigst: Ja.
> Wie kann ich dabei am besten die Bijektion
> von F(r) zeigen?
Entweder nacheinander Injektivität und Surjektivität zeigen, oder zeigen, dass durch [mm] $G(a):=\log_2a$ [/mm] eine Abbildung [mm] $G\colon\IR_{>0}\to\IR$ [/mm] erklärt wird mit [mm] $F\circ G=id_{\IR_{>0}}$ [/mm] und [mm] $G\circ F=id_{\IR}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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